Ecuación matricial con inversa y potencias

Para resolver la ecuación matricial $AX + B = A^2$, debemos aislar la matriz $X$ siguiendo las reglas del álgebra matricial. 1. Restamos la matriz $B$ en ambos miembros: $$AX = A^2 - B$$ 2. Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la matriz inversa $A^{-1}$, siempre que esta exista: $$A^{-1}(AX) = A^{-1}(A^2 - B)$$ $$(A^{-1}A)X = A^{-1}(A^2 - B)$$ $$IX = A^{-1}(A^2 - B)$$ $$X = A^{-1}(A^2 - B)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo. Si multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en un lado, debemos hacerlo también por la izquierda en el otro. También podemos simplificar la expresión antes de operar: $$X = A^{-1}A^2 - A^{-1}B = AX - A^{-1}B = A - A^{-1}B$$ Sin embargo, utilizaremos la forma **$X = A^{-1}(A^2 - B)$** por ser el procedimiento estándar.

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ por la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (0 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 0) - (1 \cdot 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = 0 + 0 + 0 - (0 + 0 + 1) = -1$$ Como **$|A| = -1 \neq 0$**, la matriz **$A$ es invertible** y, por tanto, existe una única solución para $X$.

Calculamos $A^{-1}$ usando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Calculamos primero los adjuntos de los elementos de $A$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Transponemos: $\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. Dividimos por $|A| = -1$: $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Calculamos primero $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora restamos $B$: $$A^2 - B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para restar matrices, se restan los elementos que ocupan la misma posición.

Finalmente, multiplicamos $A^{-1}$ por el resultado anterior: $$X = A^{-1} (A^2 - B) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto fila a fila: - Fila 1: $(0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1, \ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-2), \ 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-2)) = (-1, 2, 1)$ - Fila 2: $(1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1, \ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + (-1) \cdot (-2), \ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2)) = (-1, 3, 2)$ - Fila 3: $(0 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1, \ 0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-2), \ 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-2)) = (1, -2, -2)$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}}$$