Cálculo de la primitiva de una función logarítmica

Para encontrar la primitiva de $f(x)$, debemos calcular la integral indefinida de la función: $$F(x) = \int x \ln(x + 1) \, dx$$ Como tenemos un producto de una función algebraica ($x$) y una función logarítmica ($\ln(x+1)$), utilizaremos el método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla común para elegir $u$ es la regla **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Potencias, Exponenciales, Senos/Cosenos). En este caso, elegimos el logaritmo como $u$.

Definimos las variables para el método de partes: - $u = \ln(x+1) \implies du = \dfrac{1}{x+1} \, dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \displaystyle\int x \, dx = \dfrac{x^2}{2}$ Aplicando la fórmula: $$\int x \ln(x+1) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x+1) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x+1} \, dx$$ Extraemos la constante fuera de la integral: $$F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x+1) - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{x+1} \, dx$$

Para resolver $\displaystyle\int \frac{x^2}{x+1} \, dx$, observamos que el grado del numerador es mayor que el del denominador, por lo que realizamos la división de polinomios: $$\frac{x^2}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1}$$ Ahora integramos término a término: $$\int \left( x - 1 + \frac{1}{x+1} \right) dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln|x+1|$$ Como el enunciado nos dice que $x > -1$, entonces $x+1 > 0$, por lo que podemos omitir el valor absoluto: $$\int \frac{x^2}{x+1} \, dx = \frac{x^2}{2} - x + \ln(x+1)$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador en una integral racional, el primer paso es dividir los polinomios.

Sustituimos el resultado de la integral racional en nuestra expresión de $F(x)$: $$F(x) = \frac{x^2}{2} \ln(x+1) - \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - x + \ln(x+1) \right] + C$$ Agrupamos los términos con logaritmo para simplificar: $$F(x) = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \right) \ln(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C$$ Podemos escribirlo de forma más compacta como: $$F(x) = \frac{x^2-1}{2} \ln(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} + C$$

El enunciado indica que la gráfica de la primitiva pasa por el punto $(1, 0)$, lo que significa que $F(1) = 0$. Sustituimos $x=1$ en la expresión anterior: $$0 = \frac{1^2-1}{2} \ln(1+1) - \frac{1^2}{4} + \frac{1}{2} + C$$ $$0 = 0 \cdot \ln(2) - \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + C$$ $$0 = \frac{1}{4} + C \implies C = -\frac{1}{4}$$ 💡 **Tip:** La condición de pasar por un punto $(x_0, y_0)$ sirve para determinar el valor de la constante de integración de una familia de primitivas.

Sustituimos el valor de $C$ en la expresión de $F(x)$: $$F(x) = \frac{x^2-1}{2} \ln(x+1) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$$ Podemos simplificar los últimos términos: $$F(x) = \frac{x^2-1}{2} \ln(x+1) - \frac{x^2 - 2x + 1}{4}$$ Reconociendo el binomio al cuadrado $(x-1)^2$: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = \frac{x^2-1}{2} \ln(x+1) - \frac{(x-1)^2}{4}}$$