Optimización de la superficie de un depósito cilíndrico

Para resolver este problema de optimización, primero identificamos las variables y las fórmulas geométricas implicadas. Sean: - $r$: el radio de la base del cilindro (en metros). - $h$: la altura del cilindro (en metros). El enunciado nos da dos condiciones: 1. **Condición de ligadura (Volumen):** El depósito tiene una capacidad de $125 \text{ m}^3$. Como es un cilindro: $$V = \pi r^2 h = 125$$ 2. **Función a minimizar (Superficie):** El depósito no tiene tapadera, por lo que su superficie total es la suma del área de la base circular más el área lateral: $$S = \text{Área base} + \text{Área lateral} = \pi r^2 + 2 \pi r h$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el cilindro tuviera tapa, la superficie sería $2\pi r^2 + 2\pi r h$. En este caso, al ser un depósito abierto, solo incluimos una base.

Para poder derivar y encontrar el mínimo, necesitamos expresar la superficie $S$ en función de una sola variable. Despejamos la altura $h$ de la ecuación del volumen: $$\pi r^2 h = 125 \implies h = \frac{125}{\pi r^2}$$ Ahora sustituimos esta expresión de $h$ en la función de la superficie: $$S(r) = \pi r^2 + 2 \pi r \left( \frac{125}{\pi r^2} \right)$$ Simplificamos los términos (cancelando $\pi$ y un radio $r$): $$S(r) = \pi r^2 + \frac{250}{r}$$ El dominio de esta función es $r \in (0, +\infty)$, ya que el radio debe ser una medida positiva.

Para hallar el mínimo de la función $S(r)$, calculamos su primera derivada e igualamos a cero: $$S'(r) = \frac{d}{dr} \left( \pi r^2 + 250r^{-1} \right) = 2 \pi r - \frac{250}{r^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$2 \pi r - \frac{250}{r^2} = 0 \implies 2 \pi r = \frac{250}{r^2} \implies r^3 = \frac{250}{2 \pi} = \frac{125}{\pi}$$ Despejamos $r$ aplicando la raíz cúbica: $$r = \sqrt[3]{\frac{125}{\pi}} = \frac{5}{\sqrt[3]{\pi}} \approx 3.414 \text{ m}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $\frac{k}{x}$ es más rápido pensar en $k \cdot x^{-1}$, cuya derivada es $-k \cdot x^{-2}$.

Debemos comprobar que en $r = \frac{5}{\sqrt[3]{\pi}}$ existe un mínimo. Utilizaremos el criterio de la segunda derivada: $$S''(r) = \frac{d}{dr} \left( 2\pi r - 250r^{-2} \right) = 2\pi + \frac{500}{r^3}$$ Evaluamos en nuestro punto crítico: $$S''\left( \frac{5}{\sqrt[3]{\pi}} \right) = 2\pi + \frac{500}{125/\pi} = 2\pi + 4\pi = 6\pi$$ Como $S'' > 0$, la función es convexa en ese punto y, por tanto, se trata de un **mínimo relativo**. También podemos observar el cambio de signo de la derivada: $$\begin{array}{c|ccc} r & (0, 3.41) & 3.41 & (3.41, +\infty)\\ \hline S'(r) & - & 0 & + \end{array}$$ La función decrece antes de $r \approx 3.41$ y crece después, confirmando el mínimo.

Una vez hallado el radio óptimo, calculamos la altura $h$ correspondiente usando la relación obtenida en el paso 2: $$h = \frac{125}{\pi r^2} = \frac{125}{\pi \left( \frac{125}{\pi} \right)^{2/3}} = \frac{125}{\pi \cdot \frac{125^{2/3}}{\pi^{2/3}}} = \frac{125}{125^{2/3} \cdot \pi^{1/3}}$$ Como $125 / 125^{2/3} = 125^{1/3} = 5$: $$h = \frac{5}{\sqrt[3]{\pi}} \approx 3.414 \text{ m}$$ Curiosamente, en este caso de depósito sin tapa, el radio y la altura deben ser iguales para minimizar el material. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r = \frac{5}{\sqrt[3]{\pi}} \text{ m} \approx 3.41 \text{ m}, \quad h = \frac{5}{\sqrt[3]{\pi}} \text{ m} \approx 3.41 \text{ m}}$$