Rectas paralelas y distancia entre ellas en el espacio

**a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta $s$ paralela a $r$ que pasa por $C(-2, 3, 2)$.** Para definir una recta necesitamos un punto y un vector director. Primero, hallamos el vector director de la recta $r$, que viene dado por el vector que une los puntos $A$ y $B$: $$\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (-1 - 1, 1 - 0, 0 - (-1)) = (-2, 1, 1).$$ Como la recta $s$ es paralela a $r$, ambas comparten la misma dirección, por lo que podemos usar el mismo vector director para $s$: $$\vec{v}_s = \vec{v}_r = (-2, 1, 1).$$ 💡 **Tip:** Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales. En este caso, tomamos el mismo vector para simplificar. $$\boxed{\vec{v}_s = (-2, 1, 1)}$$

Utilizamos el punto $C(-2, 3, 2)$ y el vector director $\vec{v}_s = (-2, 1, 1)$ para escribir la ecuación de la recta $s$. Podemos expresarla en su **forma continua**: $$\frac{x - (-2)}{-2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 2}{1}$$ Simplificando: $$\frac{x + 2}{-2} = y - 3 = z - 2$$ O bien, en su **forma paramétrica** (muy útil para cálculos posteriores): $$s \equiv \begin{cases} x = -2 - 2\lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado (recta s):** $$\boxed{s \equiv \frac{x + 2}{-2} = y - 3 = z - 2}$$

**b) [1’5 puntos] Calcula la distancia de $r$ a $s$.** Dado que las rectas $r$ y $s$ son paralelas, la distancia entre ellas es constante e igual a la distancia desde cualquier punto de una de las rectas a la otra recta. Calcularemos la **distancia del punto $C$ (que pertenece a $s$) a la recta $r$**. La fórmula para la distancia de un punto $P$ a una recta que pasa por $A$ con vector director $\vec{v}$ es: $$d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$$ En nuestro caso, usaremos el punto $C(-2, 3, 2)$ de la recta $s$ y los elementos de la recta $r$ ($A(1, 0, -1)$ y $\vec{v}_r = (-2, 1, 1)$). 💡 **Tip:** La distancia entre rectas paralelas se reduce al problema de distancia punto-recta. No importa qué punto de $s$ elijas, el resultado será el mismo.

Primero, calculamos el vector $\vec{AC}$ que une el punto $A$ de la recta $r$ con el punto $C$ de la recta $s$: $$\vec{AC} = C - A = (-2 - 1, 3 - 0, 2 - (-1)) = (-3, 3, 3).$$ Ahora realizamos el producto vectorial $\vec{AC} \times \vec{v}_r$ mediante el determinante: $$\vec{AC} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 3 & 3 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{AC} \times \vec{v}_r = (3\vec{i} - 6\vec{j} - 3\vec{k}) - (-6\vec{k} + 3\vec{i} - 3\vec{j})$$ $$\vec{AC} \times \vec{v}_r = 3\vec{i} - 6\vec{j} - 3\vec{k} + 6\vec{k} - 3\vec{i} + 3\vec{j}$$ $$\vec{AC} \times \vec{v}_r = 0\vec{i} - 3\vec{j} + 3\vec{k} = (0, -3, 3).$$ $$\boxed{\vec{AC} \times \vec{v}_r = (0, -3, 3)}$$

Calculamos el módulo del producto vectorial: $$|\vec{AC} \times \vec{v}_r| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$$ Calculamos el módulo del vector director de $r$: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}.$$ Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = d(C, r) = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}.$$ Si aproximamos el valor: $$\sqrt{3} \approx 1,732 \text{ unidades.}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(r, s) = \sqrt{3} \text{ u}}$$