Sistemas de ecuaciones con parámetros y condiciones adicionales

**a) [1’5 puntos] Calcula $\alpha$ de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma $\alpha x + y - 7z = 1$ el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original.** El sistema original tiene 2 ecuaciones y 3 incógnitas. Como los coeficientes de las incógnitas no son proporcionales $(\frac{1}{2} \neq \frac{2}{3})$, el rango de la matriz de coeficientes es 2. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser el rango menor que el número de incógnitas, el sistema es **Compatible Indeterminado** y su solución es una recta en el espacio. Para que al añadir una tercera ecuación el sistema siga teniendo las mismas soluciones, esta nueva ecuación debe ser **linealmente dependiente** de las otras dos. Es decir, la nueva fila en la matriz ampliada debe ser una combinación lineal de las dos primeras filas. 💡 **Tip:** Si una ecuación es combinación lineal de las otras, no aporta información nueva y el conjunto de soluciones (la recta) no cambia.

Si la tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos, el determinante de cualquier submatriz de orden $3 \times 3$ de la matriz ampliada $M^*$ debe ser cero. Consideramos la matriz ampliada del nuevo sistema: $$M^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 5 \\ \alpha & 1 & -7 & 1 \end{array} \right)$$ Para que el rango de $M^*$ sea 2, el determinante de la matriz formada por las columnas 1, 2 y 4 (por ejemplo) debe ser 0: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ \alpha & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos por la regla de Sarrus: $$(1 \cdot 3 \cdot 1 + 2 \cdot 5 \cdot \alpha + 2 \cdot 1 \cdot 3) - (3 \cdot 3 \cdot \alpha + 5 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 1) = 0$$ $$(3 + 10\alpha + 6) - (9\alpha + 5 + 4) = 0$$ $$9 + 10\alpha - (9\alpha + 9) = 0$$ $$\alpha = 0$$ ✅ **Resultado para el apartado a):** $$\boxed{\alpha = 0}$$

**b) [1 punto] Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4.** El enunciado nos pide encontrar los valores de $x, y, z$ que satisfacen el sistema original y, además, cumplen la condición: $$x + y + z = 4$$ Esto equivale a resolver el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas formado por las dos ecuaciones iniciales y la nueva condición: $$\begin{cases} x + 2y - 3z = 3 \quad (E_1) \\ 2x + 3y + z = 5 \quad (E_2) \\ x + y + z = 4 \quad (E_3) \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En lugar de hallar la solución general del sistema original en función de un parámetro $\lambda$, es más directo tratar la condición como una tercera ecuación.

Podemos simplificar el sistema restando ecuaciones para eliminar la $x$: 1. Restamos la tercera a la primera ($E_1 - E_3$): $$(x + 2y - 3z) - (x + y + z) = 3 - 4 \implies y - 4z = -1 \implies y = 4z - 1$$ 2. Restamos el doble de la tercera a la segunda ($E_2 - 2E_3$): $$(2x + 3y + z) - 2(x + y + z) = 5 - 2(4)$$ $$2x + 3y + z - 2x - 2y - 2z = 5 - 8$$ $$y - z = -3 \implies y = z - 3$$ Ahora igualamos las expresiones obtenidas para $y$: $$4z - 1 = z - 3$$ $$3z = -2 \implies z = -\frac{2}{3}$$ 💡 **Tip:** El método de reducción o sustitución tras simplificar es muy eficiente en sistemas $3 \times 3$ con coeficientes sencillos.

Sustituimos el valor de $z = -\frac{2}{3}$ en la expresión $y = z - 3$: $$y = -\frac{2}{3} - 3 = \frac{-2 - 9}{3} = -\frac{11}{3}$$ Finalmente, usamos la condición $x + y + z = 4$ para hallar $x$: $$x = 4 - y - z$$ $$x = 4 - \left(-\frac{11}{3}\right) - \left(-\frac{2}{3}\right)$$ $$x = 4 + \frac{11}{3} + \frac{2}{3} = 4 + \frac{13}{3}$$ $$x = \frac{12 + 13}{3} = \frac{25}{3}$$ Comprobamos la suma: $\frac{25}{3} - \frac{11}{3} - \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$. Correcto. ✅ **Resultado para el apartado b):** $$\boxed{x = \frac{25}{3}, \quad y = -\frac{11}{3}, \quad z = -\frac{2}{3}}$$