Área entre función con valor absoluto y racional

**a) [1 punto] Esboza las gráficas de $f$ y $g$ sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.** Primero, definimos la función $f(x)$ de forma explícita eliminando el valor absoluto: $$f(x) = \begin{cases} -\dfrac{x}{2} & \text{si } x < 0 \\ \dfrac{x}{2} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Para hallar los puntos de corte, igualamos ambas funciones $f(x) = g(x)$. Debido a la simetría de ambas funciones (son funciones pares, ya que $f(-x)=f(x)$ y $g(-x)=g(x)$), basta con resolver para $x \ge 0$: $$\frac{x}{2} = \frac{1}{1+x^2} \implies x(1+x^2) = 2 \implies x^3 + x - 2 = 0$$ Probamos raíces enteras usando la regla de Ruffini. Para $x=1$: $$1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$$ Factorizando el polinomio, obtenemos $(x-1)(x^2 + x + 2) = 0$. El segundo factor no tiene raíces reales ($D = 1^2 - 4 \cdot 2 = -7 \lt 0$). Por tanto, el único punto de corte para $x \ge 0$ es $x=1$. Por simetría, para $x \lt 0$ el punto de corte será $x = -1$. Las ordenadas de los puntos son: - Para $x=1$, $y = f(1) = 1/2$. - Para $x=-1$, $y = f(-1) = 1/2$. 💡 **Tip:** Una función es par si $f(x) = f(-x)$. Su gráfica es simétrica respecto al eje $Y$, lo que simplifica mucho los cálculos de áreas e intersecciones. ✅ **Puntos de corte:** $$\boxed{P_1(1, 1/2) \quad y \quad P_2(-1, 1/2)}$$

Para realizar el esbozo: 1. $f(x) = \frac{|x|}{2}$ es una función lineal a trozos con forma de "V", con el vértice en el origen $(0,0)$. 2. $g(x) = \frac{1}{1+x^2}$ es una campana (conocida como la Bruja de Agnesi) que tiene un máximo en $(0,1)$ y asíntota horizontal $y=0$ cuando $x \to \pm\infty$. En el intervalo $[-1, 1]$, la gráfica de $g(x)$ queda por encima de la de $f(x)$, ya que en $x=0$, $g(0)=1$ y $f(0)=0$.

**b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $f$ y $g$.** El área buscada es la integral de la función superior menos la inferior entre los puntos de corte $x=-1$ y $x=1$: $$A = \int_{-1}^{1} \left( g(x) - f(x) \right) dx = \int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{1+x^2} - \frac{|x|}{2} \right) dx$$ Aprovechando la **simetría** de las funciones respecto al eje $Y$, podemos calcular el doble de la integral de $0$ a $1$, donde $|x| = x$: $$A = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{1+x^2} - \frac{x}{2} \right) dx$$ 💡 **Tip:** Si el recinto es simétrico respecto al eje de ordenadas, el área es $A = 2 \int_{0}^{a} (g(x)-f(x)) dx$, lo que evita trabajar con el valor absoluto y simplifica la aplicación de la regla de Barrow.

Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: 1. Hallamos la primitiva: $$\int \left( \frac{1}{1+x^2} - \frac{x}{2} \right) dx = \arctan(x) - \frac{x^2}{4}$$ 2. Aplicamos los límites de integración de $0$ a $1$: $$A = 2 \left[ \arctan(x) - \frac{x^2}{4} \right]_0^1$$ $$A = 2 \left[ \left( \arctan(1) - \frac{1^2}{4} \right) - \left( \arctan(0) - \frac{0^2}{4} \right) \right]$$ Sabemos que $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ y $\arctan(0) = 0$: $$A = 2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} - 0 \right) = 2 \left( \frac{\pi - 1}{4} \right) = \frac{\pi - 1}{2}$$ Calculando el valor aproximado: $$A = \frac{\pi - 1}{2} \approx \frac{3.1416 - 1}{2} \approx 1.0708 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\pi - 1}{2} \text{ u}^2}$$