Cálculo de parámetros y extremos relativos

**a) [1’75 puntos] Halla $a, b$ y $c$ para que la gráfica de $f$ tenga un punto de inflexión de abscisa $x = \frac{1}{2}$ y que la recta tangente en el punto de abscisa $x = 0$ tenga por ecuación $y = 5 - 6x$.** Primero, calculamos la primera y segunda derivada de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, ya que las condiciones del enunciado dependen de ellas: $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ $$f''(x) = 6x + 2a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la primera derivada nos da la pendiente de la recta tangente y la segunda derivada se utiliza para localizar puntos de inflexión y estudiar la curvatura.

El enunciado indica que existe un **punto de inflexión** en $x = \frac{1}{2}$. En un punto de inflexión, la segunda derivada debe ser igual a cero: $$f''\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \implies 6\left(\frac{1}{2}\right) + 2a = 0$$ $$3 + 2a = 0 \implies 2a = -3 \implies a = -\frac{3}{2}$$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión es aquel donde la función cambia de concavidad; para funciones polinómicas, esto ocurre cuando $f''(x)=0$ y hay un cambio de signo en $f''(x)$.

Se nos da la recta tangente en $x = 0$: $y = -6x + 5$. De esta ecuación obtenemos dos informaciones clave: 1. **La pendiente de la tangente** en $x = 0$ es $m = -6$. Por tanto, $f'(0) = -6$: $$f'(0) = 3(0)^2 + 2a(0) + b = -6 \implies b = -6$$ 2. **El punto de tangencia**: La función $f$ y la recta tangente comparten el mismo punto en $x = 0$. Sustituimos $x=0$ en la ecuación de la recta para hallar la ordenada: $$y = 5 - 6(0) = 5$$ Por tanto, el punto es $(0, 5)$, lo que significa que $f(0) = 5$: $$f(0) = 0^3 + a(0)^2 + b(0) + c = 5 \implies c = 5$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{a = -\frac{3}{2}, \quad b = -6, \quad c = 5}$$

**b) [0’75 puntos] Para $a = 3, b = -9$ y $c = 8$, calcula los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).** Sustituimos los valores en la función: $$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 8$$ Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada e igualamos a cero: $$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$$ $$3x^2 + 6x - 9 = 0 \implies x^2 + 2x - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$$ Obtenemos los puntos críticos en: $$x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos para determinar si son máximos o mínimos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-3) & -3 & (-3,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ - En $x = -3$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. - En $x = 1$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. Calculamos los valores de la función (ordenadas): - Para $x = -3$: $f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 8 = -27 + 27 + 27 + 8 = 35$. - Para $x = 1$: $f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 8 = 1 + 3 - 9 + 8 = 3$. 💡 **Tip:** También podrías usar la segunda derivada $f''(x) = 6x + 6$. Si $f''(x_0) > 0$ es mínimo, si $f''(x_0) < 0$ es máximo. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-3, 35) \text{ y Mínimo relativo en } (1, 3)}$$