Recta tangente, normal y ángulo entre ellas

**a) La ecuación de la recta tangente a la curva $y = f(x)$ en el punto de abscisa $x = \pi/6$. (4 puntos).** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = a$, utilizamos la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ 1. **Punto de tangencia:** Evaluamos la función en $x = \frac{\pi}{6}$: $$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \text{sen }\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$ El punto es $P\left(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}\right)$. 2. **Pendiente de la tangente ($m_a$):** Derivamos $f(x)$ y evaluamos en $x = \frac{\pi}{6}$: $$f'(x) = \cos x \implies m_a = f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\text{sen } x$ es $\cos x$ y que los valores notables de $\pi/6$ ($30^\circ$) son fundamentales en trigonometría.

Sustituimos el punto $P\left(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}\right)$ y la pendiente $m_a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ en la ecuación punto-pendiente: $$y - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( x - \frac{\pi}{6} \right)$$ Podemos expresar la ecuación de forma explícita: $$y = \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{\sqrt{3}\pi}{12} + \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{6 - \sqrt{3}\pi}{12}}$$

**b) La ecuación de la recta normal a la curva $y = f(x)$ en el punto de abscisa $x = \pi/3$. Se recuerda que la recta normal a una curva en un punto $P$ es la recta que pasa por ese punto $P$ y es perpendicular a la recta tangente a la curva en el punto $P$. (3 puntos).** 1. **Punto de paso:** Evaluamos la función en $x = \frac{\pi}{3}$: $$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \text{sen }\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ El punto es $Q\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. 2. **Pendiente de la normal ($m_b$):** La pendiente de la normal es la opuesta e inversa de la pendiente de la tangente en dicho punto. Calculamos primero la pendiente de la tangente en $x = \frac{\pi}{3}$: $$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$ La pendiente de la normal será: $$m_b = -\frac{1}{f'(\pi/3)} = -\frac{1}{1/2} = -2$$ 💡 **Tip:** Si dos rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es $-1$: $m_T \cdot m_N = -1$.

Sustituimos el punto $Q\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ y la pendiente $m_b = -2$ en la ecuación punto-pendiente: $$y - \frac{\sqrt{3}}{2} = -2 \left( x - \frac{\pi}{3} \right)$$ Despejamos $y$ para obtener la forma explícita: $$y = -2x + \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$ ✅ **Resultado (recta normal):** $$\boxed{y = -2x + \frac{4\pi + 3\sqrt{3}}{6}}$$

**c) El ángulo formado por las rectas determinadas en los apartados a) y b). (3 puntos).** Para hallar el ángulo $\alpha$ entre dos rectas cuyas pendientes son $m_1$ y $m_2$, utilizamos la fórmula: $$\tan \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|$$ Identificamos las pendientes calculadas anteriormente: - Recta del apartado a): $m_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - Recta del apartado b): $m_2 = -2$ Sustituimos en la fórmula: $$\tan \alpha = \left| \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - (-2)}{1 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)(-2)} \right| = \left| \frac{\frac{\sqrt{3} + 4}{2}}{1 - \sqrt{3}} \right| = \frac{4 + \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} - 1)}$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre dos rectas siempre se toma como el menor de los dos ángulos posibles, por eso usamos el valor absoluto para obtener la tangente positiva.

Para simplificar la expresión, racionalizamos multiplicando por el conjugado $(\sqrt{3} + 1)$: $$\tan \alpha = \frac{(4 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{2(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{4\sqrt{3} + 4 + 3 + \sqrt{3}}{2(3 - 1)} = \frac{7 + 5\sqrt{3}}{4}$$ Calculamos el valor numérico para obtener el ángulo: $$\tan \alpha \approx \frac{7 + 5(1.732)}{4} \approx 3.915$$ $$\alpha = \text{arctg}\left( \frac{7 + 5\sqrt{3}}{4} \right) \approx 75.67^\circ$$ ✅ **Resultado (ángulo):** $$\boxed{\alpha = \text{arctg}\left( \frac{7 + 5\sqrt{3}}{4} \right) \approx 75.67^\circ}$$ Representación gráfica de la función y las rectas obtenidas: