Distancias en el espacio: punto-punto, punto-recta y punto-plano

**a) La distancia del punto $P$ al punto $A$. (2 puntos)** La distancia entre dos puntos $P(x_1, y_1, z_1)$ y $A(x_2, y_2, z_2)$ es el módulo del vector que los une, $\vec{AP}$: $$\vec{AP} = P - A = (0 - 1, -3 - 0, 2 - 1) = (-1, -3, 1)$$ Calculamos su módulo utilizando la fórmula de la distancia euclídea: $$d(P, A) = |\vec{AP}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 1^2}$$ $$d(P, A) = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre dos puntos $A$ y $B$ coincide con la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias de sus coordenadas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, A) = \sqrt{11} \text{ unidades}}$$

**b) La distancia del punto $P$ a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. (4 puntos)** Primero definimos la recta $r$ que pasa por $A$ y $B$. Para ello necesitamos un punto, por ejemplo $A(1, 0, 1)$, y un vector director $\vec{v}_r$: $$\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (2 - 1, -1 - 0, 0 - 1) = (1, -1, -1)$$ Para calcular la distancia de un punto $P$ a una recta $r$, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial: $$d(P, r) = \frac{|\vec{v}_r \times \vec{AP}|}{|\vec{v}_r|}$$ Ya conocemos de la sección anterior que $\vec{AP} = (-1, -3, 1)$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{AP}$ mediante el determinante: $$\vec{v}_r \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -3 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v}_r \times \vec{AP} = \vec{i}(-1) + \vec{j}(1) + \vec{k}(-3) - [ \vec{k}(1) + \vec{i}(3) + \vec{j}(1) ]$$ $$\vec{v}_r \times \vec{AP} = (-1 - 3)\vec{i} + (1 - 1)\vec{j} + (-3 - 1)\vec{k} = (-4, 0, -4)$$ Ahora calculamos los módulos necesarios: $$|\vec{v}_r \times \vec{AP}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ $$|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los vectores, por eso al dividir por la base (el módulo del vector director) obtenemos la altura, que es la distancia.

Sustituimos los valores obtenidos en la fórmula de la distancia: $$d(P, r) = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{3}$ en numerador y denominador: $$d(P, r) = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \frac{4\sqrt{6}}{3} \text{ unidades}}$$

**c) La distancia del punto $P$ al plano que pasa por los puntos $A, B$ y $C$. (4 puntos)** Primero hallamos la ecuación del plano $\pi$ que contiene a $A, B$ y $C$. Usaremos el punto $A(1, 0, 1)$ y los vectores directores $\vec{AB} = (1, -1, -1)$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AC} = C - A = (0 - 1, 1 - 0, 1 - 1) = (-1, 1, 0)$$ El vector normal al plano $\vec{n}_\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{n}_\pi = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_\pi = \vec{i}(0) + \vec{j}(1) + \vec{k}(1) - [ \vec{k}(1) + \vec{i}(-1) + \vec{j}(0) ]$$ $$\vec{n}_\pi = (0 - (-1))\vec{i} + (1 - 0)\vec{j} + (1 - 1)\vec{k} = (1, 1, 0)$$ La ecuación general del plano es $1(x - 1) + 1(y - 0) + 0(z - 1) = 0$, simplificando: $$\pi: x + y - 1 = 0$$

Para calcular la distancia del punto $P(0, -3, 2)$ al plano $\pi: x + y - 1 = 0$, usamos la fórmula: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos las coordenadas de $P$ y los coeficientes del plano: $$d(P, \pi) = \frac{|1(0) + 1(-3) + 0(2) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$$ $$d(P, \pi) = \frac{|0 - 3 - 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$$ Racionalizamos: $$d(P, \pi) = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$ 💡 **Tip:** Si el punto $P$ perteneciera al plano, al sustituir sus coordenadas en la ecuación obtendríamos $0$, y por tanto la distancia sería nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, \pi) = 2\sqrt{2} \text{ unidades}}$$