Cálculo de determinantes mediante propiedades

**a) $|A + B|$ y $|\frac{1}{2}(A + B)^{-1}|$. (4 puntos).** Primero, calculamos la matriz suma $A + B$ sumando los elementos correspondientes de ambas matrices: $$A + B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \\ 4 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos su determinante $|A + B|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A + B| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \\ 4 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot 5 \cdot 4) + (1 \cdot 2 \cdot 2) - [ (4 \cdot 0 \cdot 2) + (2 \cdot 5 \cdot 0) + (1 \cdot 1 \cdot 0) ]$$ $$|A + B| = 0 + 20 + 4 - (0 + 0 + 0) = 24$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A + B| = 24}$$

Para calcular $|\frac{1}{2}(A + B)^{-1}|$, aplicamos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. Si $M$ es una matriz de orden $n$, entonces $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$. 2. El determinante de la inversa es el inverso del determinante: $|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$. En este caso, la matriz $(A + B)$ es de orden $n=3$ y $k = \frac{1}{2}$: $$\left| \frac{1}{2}(A + B)^{-1} \right| = \left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot |(A + B)^{-1}| = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{|A + B|}$$ Sustituyendo el valor obtenido anteriormente: $$\left| \frac{1}{2}(A + B)^{-1} \right| = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{24} = \frac{1}{192}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar un escalar fuera de un determinante, este sale elevado a la dimensión de la matriz (en este caso 3). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\left| \frac{1}{2}(A + B)^{-1} \right| = \frac{1}{192}}$$

**b) $|(A + B)^{-1}A|$ y $|A^{-1}(A + B)|$. (3 puntos).** Para resolver los siguientes apartados, necesitaremos los determinantes de $A$ y $B$. Observamos que $A$ es una matriz triangular inferior y $B$ es una matriz triangular superior. 💡 **Tip:** El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal. $$|A| = \begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 1 \cdot (-2) = 4$$ $$|B| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) \cdot 2 = -4$$

Aplicamos la propiedad de que el determinante de un producto es el producto de los determinantes: $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. Para el primer caso: $$|(A + B)^{-1}A| = |(A + B)^{-1}| \cdot |A| = \frac{1}{|A + B|} \cdot |A| = \frac{1}{24} \cdot 4 = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$$ Para el segundo caso: $$|A^{-1}(A + B)| = |A^{-1}| \cdot |A + B| = \frac{1}{|A|} \cdot |A + B| = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6$$ ✅ **Resultados:** $$\boxed{|(A + B)^{-1}A| = \frac{1}{6}} \quad \text{y} \quad \boxed{|A^{-1}(A + B)| = 6}$$

**c) $|2ABA^{-1}|$ y $|A^3B^{-1}|$. (3 puntos).** Utilizamos de nuevo las propiedades de linealidad, producto e inversa: Para $|2ABA^{-1}|$, como la matriz es $3 \times 3$, el escalar $2$ sale como $2^3$: $$|2ABA^{-1}| = 2^3 \cdot |A| \cdot |B| \cdot |A^{-1}| = 8 \cdot |A| \cdot |B| \cdot \frac{1}{|A|}$$ Los determinantes $|A|$ se cancelan: $$|2ABA^{-1}| = 8 \cdot |B| = 8 \cdot (-4) = -32$$ Para $|A^3B^{-1}|$, usamos la propiedad de la potencia $|A^n| = |A|^n$: $$|A^3B^{-1}| = |A|^3 \cdot |B^{-1}| = |A|^3 \cdot \frac{1}{|B|} = 4^3 \cdot \frac{1}{-4} = \frac{64}{-4} = -16$$ ✅ **Resultados:** $$\boxed{|2ABA^{-1}| = -32} \quad \text{y} \quad \boxed{|A^3B^{-1}| = -16}$$