Análisis 2013 Valencia
Optimización: Distancia mínima de un meteorito al Sol
Se estudió el movimiento de un meteorito del sistema solar durante un mes. Se obtuvo que la ecuación de su trayectoria $T$ es $y^2 = 2x + 9$, siendo $-4,5 \leq x \leq 8$ e $y \geq 0$, estando situado el Sol en el punto $(0, 0)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) La distancia del meteorito al Sol desde un punto $P$ de su trayectoria cuya abscisa es $x$. (3 puntos).
b) El punto $P$ de la trayectoria $T$ donde el meteorito alcanza la distancia mínima al Sol. (5 puntos).
c) Distancia mínima del meteorito al Sol. (2 puntos).
Nota. En los tres resultados sólo se dará la expresión algebraica o el valor numérico obtenido, sin mencionar la unidad de medida por no haber sido indicada en el enunciado.
Paso 1
Expresar las coordenadas del punto P
**a) La distancia del meteorito al Sol desde un punto $P$ de su trayectoria cuya abscisa es $x$. (3 puntos).**
Sea $P(x, y)$ un punto genérico de la trayectoria $T$. La ecuación de la trayectoria es $y^2 = 2x + 9$. Dado que el enunciado indica que $y \geq 0$, podemos despejar $y$ en función de $x$:
$$y = \sqrt{2x + 9}$$
Por tanto, cualquier punto $P$ de la trayectoria se puede expresar en función de su abscisa $x$ como:
$$P(x, \sqrt{2x + 9}$$
con la restricción $-4,5 \leq x \leq 8$.
Paso 2
Calcular la función distancia
La distancia entre el punto $P(x, \sqrt{2x + 9})$ y el Sol, situado en el origen $O(0, 0)$, se calcula mediante la fórmula de la distancia entre dos puntos:
$$d(x) = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2}$$
Sustituimos las coordenadas de $P$:
$$d(x) = \sqrt{x^2 + (\sqrt{2x + 9})^2} = \sqrt{x^2 + 2x + 9}$$
💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
✅ **Resultado (Distancia):**
$$\boxed{d(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 9}}$$
Paso 3
Planteamiento de la optimización
**b) El punto $P$ de la trayectoria $T$ donde el meteorito alcanza la distancia mínima al Sol. (5 puntos).**
Para minimizar la distancia $d(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 9}$, es equivalente y mucho más sencillo minimizar el cuadrado de la distancia, ya que la raíz cuadrada es una función creciente. Definimos la función a minimizar:
$$f(x) = [d(x)]^2 = x^2 + 2x + 9$$
en el intervalo $x \in [-4,5, 8]$.
Calculamos la primera derivada para hallar los puntos críticos:
$$f'(x) = 2x + 2$$
Paso 4
Cálculo del punto crítico
Igualamos la derivada a cero:
$$2x + 2 = 0 \implies 2x = -2 \implies x = -1$$
Como $x = -1$ pertenece al intervalo $[-4,5, 8]$, es un candidato a mínimo.
Para confirmar que es un mínimo, estudiamos el signo de la derivada $f'(x)$ en el dominio:
$$
\begin{array}{c|ccc}
x & (-4,5, -1) & -1 & (-1, 8)\\ \hline
f'(x) & - & 0 & +\\
f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow
\end{array}
$$
Como la función decrece antes de $x = -1$ y crece después, hay un **mínimo relativo** en $x = -1$.
Paso 5
Determinar las coordenadas del punto P
Para hallar el punto $P$ completo, sustituimos $x = -1$ en la ecuación de la trayectoria $y = \sqrt{2x + 9}$:
$$y = \sqrt{2(-1) + 9} = \sqrt{-2 + 9} = \sqrt{7}$$
El punto donde se alcanza la distancia mínima es $P(-1, \sqrt{7})$.
💡 **Tip:** No olvides que el enunciado pide el punto $P$, lo que implica dar ambas coordenadas $(x, y)$.
✅ **Resultado (Punto P):**
$$\boxed{P(-1, \sqrt{7})}$$
Paso 6
Cálculo de la distancia mínima
**c) Distancia mínima del meteorito al Sol. (2 puntos).**
Para obtener el valor de la distancia mínima, sustituimos $x = -1$ en la expresión de la distancia $d(x)$ obtenida en el apartado (a):
$$d(-1) = \sqrt{(-1)^2 + 2(-1) + 9}$$
$$d(-1) = \sqrt{1 - 2 + 9} = \sqrt{8}$$
Simplificando el radical:
$$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$$
✅ **Resultado (Distancia mínima):**
$$\boxed{2\sqrt{2}}$$