Geometría en el espacio: área, volumen y distancias

**a) El área del triángulo de vértices $O, A$ y $B$, (3 puntos) y el volumen del tetraedro de vértices $O, A, B$ y $C$. (2 puntos).** Para calcular el área del triángulo $OAB$, primero determinamos los vectores directores que parten del origen $O(0,0,0)$: $$\vec{OA} = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1)$$ $$\vec{OB} = (2, 1, 0) - (0, 0, 0) = (2, 1, 0)$$ El área de un triángulo definido por dos vectores es la mitad del módulo de su producto vectorial. Calculamos el producto vectorial $\vec{OA} \times \vec{OB}$ mediante el determinante: $$\vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por Sarrus: $$\vec{OA} \times \vec{OB} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) = (-1, 2, 1)$$ Calculamos su módulo: $$|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$$ El área del triángulo es: $$\text{Área}_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{\sqrt{6}}{2} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de los vectores que lo definen; la de un triángulo es la mitad. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{6}}{2} \text{ u}^2}$$

El volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que concurren en un vértice (usaremos el vértice $O$): $$\vec{OA} = (1, 0, 1), \quad \vec{OB} = (2, 1, 0), \quad \vec{OC} = (0, 2, 3)$$ Calculamos el producto mixto $[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]$ mediante el determinante de los tres vectores: $$[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 1(3-0) - 0(6-0) + 1(4-0) = 3 + 4 = 7$$ El volumen es: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]| = \frac{1}{6} |7| = \frac{7}{6} \text{ u}^3$$ 💡 **Tip:** El producto mixto representa el volumen del paralelepípedo definido por los vectores. El tetraedro ocupa exactly $1/6$ de ese volumen. ✅ **Resultado (Volumen):** $$\boxed{V = \frac{7}{6} \text{ u}^3}$$

**b) La distancia del vértice $C$ al plano que contiene al triángulo $OAB$. (3 puntos).** Para hallar la distancia, primero necesitamos la ecuación del plano $\pi$ que pasa por $O, A$ y $B$. Como vector normal del plano, podemos usar el producto vectorial calculado en el apartado (a): $$\vec{n} = \vec{OA} \times \vec{OB} = (-1, 2, 1)$$ Como el plano pasa por el origen $O(0,0,0)$, su ecuación general es del tipo $Ax + By + Cz = 0$: $$-1(x - 0) + 2(y - 0) + 1(z - 0) = 0 \implies -x + 2y + z = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $\pi \equiv x - 2y - z = 0$.

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Para el punto $C(0, 2, 3)$ y el plano $x - 2y - z = 0$: $$d(C, \pi) = \frac{|1 \cdot 0 - 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2}}$$ $$d(C, \pi) = \frac{|0 - 4 - 3|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{|-7|}{\sqrt{6}} = \frac{7}{\sqrt{6}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(C, \pi) = \frac{7\sqrt{6}}{6} \text{ u}$$ 💡 **Tip:** También podrías haber usado la fórmula del volumen $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Base} \cdot \text{Altura}$, despejando $h = \frac{3V}{\text{Área}}$. ✅ **Resultado (Distancia C):** $$\boxed{d(C, \pi) = \frac{7\sqrt{6}}{6} \text{ u}}$$

**c) La distancia del punto $C'$ al plano que contiene al triángulo $OAB$, siendo $C'$ el punto medio del segmento de extremos $O$ y $C$. (2 puntos).** Primero hallamos las coordenadas de $C'$ como el punto medio entre $O(0, 0, 0)$ y $C(0, 2, 3)$: $$C' = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{0 + 3}{2} \right) = (0, 1, 1.5)$$ En forma de fracción: $C' = (0, 1, 3/2)$.

Aplicamos de nuevo la fórmula de la distancia con el punto $C'(0, 1, 3/2)$ y el plano $x - 2y - z = 0$: $$d(C', \pi) = \frac{|0 - 2(1) - 1(3/2)|}{\sqrt{6}} = \frac{|-2 - 1.5|}{\sqrt{6}} = \frac{|-3.5|}{\sqrt{6}} = \frac{3.5}{\sqrt{6}}$$ Expresando $3.5$ como $7/2$: $$d(C', \pi) = \frac{7/2}{\sqrt{6}} = \frac{7}{2\sqrt{6}} = \frac{7\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{7\sqrt{6}}{12} \text{ u}$$ 💡 **Nota:** Como $C'$ es el punto medio entre un punto del plano ($O$) y el punto $C$, su distancia al plano debe ser exactamente la mitad de la distancia de $C$. Comprobación: $\frac{1}{2} \cdot \frac{7\sqrt{6}}{6} = \frac{7\sqrt{6}}{12}$. ✅ **Resultado (Distancia C'):** $$\boxed{d(C', \pi) = \frac{7\sqrt{6}}{12} \text{ u}}$$