Discusión y resolución de un sistema lineal con tres parámetros

**a) La relación que deben verificar los números $a, b$ y $c$ para que el sistema sea compatible. (4 puntos).** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & -4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{cc|c} 2 & 5 & a \\ -1 & -4 & b \\ 2 & 1 & c \end{array}\right)$$ Calculamos el rango de $A$. Como es una matriz de dimensiones $3 \times 2$, su rango máximo es 2. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = 2(-4) - (5)(-1) = -8 + 5 = -3 \neq 0$$ Por tanto, el rango de la matriz de coeficientes es **$\text{rg}(A) = 2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para que un sistema sea compatible, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el rango de la matriz de coeficientes debe ser igual al rango de la matriz ampliada.

Para que el sistema sea compatible, debe cumplirse que $\text{rg}(A^*) = \text{rg}(A) = 2$. Como la matriz $A^*$ es de dimensiones $3 \times 3$, para que su rango sea 2, su determinante debe ser obligatoriamente igual a cero. Calculamos $\det(A^*)$ desarrollando por la regla de Sarrus: $$\det(A^*) = \begin{vmatrix} 2 & 5 & a \\ -1 & -4 & b \\ 2 & 1 & c \end{vmatrix} = [2(-4)c + 5b(2) + a(-1)1] - [a(-4)2 + 5(-1)c + 2b(1)]$$ $$\det(A^*) = [-8c + 10b - a] - [-8a - 5c + 2b]$$ $$\det(A^*) = -8c + 10b - a + 8a + 5c - 2b = 7a + 8b - 3c$$ Igualamos a cero para obtener la condición de compatibilidad: $$7a + 8b - 3c = 0$$ ✅ **Resultado (Relación):** $$\boxed{7a + 8b - 3c = 0}$$

**b) La solución del sistema cuando $a = -1, b = 2$ y $c = 3$. (2 puntos).** Primero comprobamos si se cumple la condición de compatibilidad hallada en el apartado anterior: $$7(-1) + 8(2) - 3(3) = -7 + 16 - 9 = 0$$ Como se cumple, el sistema es **Compatible Determinado** (ya que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 = \text{nº de incógnitas}$). Para resolverlo, podemos usar cualquier par de ecuaciones linealmente independientes (aquellas que formaron el menor de orden 2 no nulo): $$\begin{cases} 2x + 5y = -1 \\ -x - 4y = 2 \end{cases}$$ De la segunda ecuación despejamos $x$: $$x = -4y - 2$$ Sustituimos en la primera: $$2(-4y - 2) + 5y = -1 \implies -8y - 4 + 5y = -1$$ $$-3y = 3 \implies y = -1$$ Calculamos $x$: $$x = -4(-1) - 2 = 4 - 2 = 2$$ Verificamos en la tercera ecuación: $2(2) + (-1) = 4 - 1 = 3$. Se cumple. ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{x = 2, \quad y = -1}$$

**c) La solución del sistema cuando los números $a, b$ y $c$ verifican la relación $a = c = -2b$. (4 puntos).** Primero comprobamos si esta relación satisface la condición de compatibilidad $7a + 8b - 3c = 0$: $$7(-2b) + 8b - 3(-2b) = -14b + 8b + 6b = 0$$ La condición se cumple para cualquier valor de $b$, por lo que el sistema siempre es compatible. Sustituimos $a = -2b$ y resolvemos el sistema usando las dos primeras ecuaciones: $$\begin{cases} 2x + 5y = -2b \\ -x - 4y = b \end{cases}$$ Utilizamos el método de sustitución. De la segunda ecuación: $$x = -4y - b$$ Sustituimos en la primera: $$2(-4y - b) + 5y = -2b \implies -8y - 2b + 5y = -2b$$ $$-3y = 0 \implies y = 0$$ Calculamos $x$: $$x = -4(0) - b = -b$$ Por tanto, la solución general en función de $b$ es: ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{x = -b, \quad y = 0}$$