Área de una parcela y optimización de un rectángulo inscrito

**a) El área de la parcela $A$. (3 puntos).** El área de la parcela $A$ está limitada por las rectas verticales $x=0$ y $x=40$, el eje de abscisas ($y=0$) y la función $f(x)=30\sqrt{2x+1}$. Al ser $f(x) \geq 0$ en el intervalo $[0, 40]$, el área se calcula mediante la integral definida: $$Area(A) = \int_{0}^{40} f(x) \, dx = \int_{0}^{40} 30\sqrt{2x+1} \, dx$$ 💡 **Tip:** El área bajo una curva positiva entre $x=a$ y $x=b$ viene dada por la integral $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$.

Para resolver la integral, observamos que es una integral de tipo casi inmediata (o por cambio de variable $u=2x+1$): $$\int 30(2x+1)^{1/2} \, dx = 30 \cdot \frac{1}{2} \int 2(2x+1)^{1/2} \, dx$$ Utilizando la regla de la cadena invertida $\int u' u^n = \frac{u^{n+1}}{n+1}$: $$15 \cdot \frac{(2x+1)^{3/2}}{3/2} = 15 \cdot \frac{2}{3} (2x+1)^{3/2} = 10(2x+1)^{3/2}$$ Ahora aplicamos la Regla de Barrow entre los límites $0$ y $40$: $$Area(A) = \left[ 10\sqrt{(2x+1)^3} \right]_{0}^{40} = 10\sqrt{(2\cdot 40+1)^3} - 10\sqrt{(2\cdot 0+1)^3}$$ $$Area(A) = 10\sqrt{81^3} - 10\sqrt{1^3} = 10 \cdot 9^3 - 10 \cdot 1 = 10 \cdot 729 - 10 = 7280$$ ✅ **Resultado (área parcela A):** $$\boxed{Area(A) = 7280 \text{ unidades}^2}$$

**b) Los vértices del rectángulo $R$ al que corresponde área máxima. (5 puntos).** Los vértices del rectángulo $R$ son $(x, 0)$, $(x, f(x))$, $(40, f(x))$ y $(40, 0)$. - La **base** del rectángulo es la distancia horizontal entre $x$ y $40$: $b = 40 - x$. - La **altura** del rectángulo es la ordenada de los puntos superiores, que es $f(x) = 30\sqrt{2x+1}$. La función área $A(x)$ que queremos maximizar es: $$A(x) = \text{base} \cdot \text{altura} = (40 - x) \cdot 30\sqrt{2x+1}$$ El dominio de interés para $x$ es $0 \leq x \leq 40$, ya que el rectángulo debe estar dentro de los límites de la parcela. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso fundamental es expresar la magnitud a optimizar como función de una sola variable.

Para hallar el máximo, derivamos $A(x)$ respecto a $x$ usando la regla del producto: $$A'(x) = 30 \left[ (-1) \cdot \sqrt{2x+1} + (40-x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 \right]$$ $$A'(x) = 30 \left[ -\sqrt{2x+1} + \frac{40-x}{\sqrt{2x+1}} \right]$$ Simplificamos poniendo común denominador: $$A'(x) = 30 \left[ \frac{-(2x+1) + 40-x}{\sqrt{2x+1}} \right] = 30 \left[ \frac{-2x - 1 + 40 - x}{\sqrt{2x+1}} \right] = 30 \left[ \frac{39 - 3x}{\sqrt{2x+1}} \right]$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$30 \left[ \frac{39 - 3x}{\sqrt{2x+1}} \right] = 0 \implies 39 - 3x = 0 \implies 3x = 39 \implies x = 13$$

Estudiamos el signo de $A'(x)$ alrededor de $x=13$ para confirmar que se trata de un máximo relativo: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 13) & 13 & (13, 40) \\\hline A'(x) & + & 0 & - \\\hline A(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - Si $x \lt 13$, $A'(x) \gt 0$, la función crece. - Si $x \gt 13$, $A'(x) \lt 0$, la función decrece. Por tanto, en $x=13$ existe un **máximo absoluto** en el intervalo estudiado. 💡 **Tip:** Siempre hay que justificar que el punto crítico hallado es efectivamente el extremo pedido (máximo o mínimo) mediante la primera o segunda derivada.

Para $x = 13$, calculamos el valor de la función $f(x)$ para obtener las coordenadas de los vértices: $$f(13) = 30\sqrt{2(13)+1} = 30\sqrt{27} = 30\sqrt{9 \cdot 3} = 30 \cdot 3 \sqrt{3} = 90\sqrt{3}$$ Los vértices son: - $V_1 = (x, 0) = (13, 0)$ - $V_2 = (x, f(x)) = (13, 90\sqrt{3})$ - $V_3 = (40, f(x)) = (40, 90\sqrt{3})$ - $V_4 = (40, 0) = (40, 0)$ ✅ **Resultado (vértices):** $$\boxed{(13, 0), (13, 90\sqrt{3}), (40, 90\sqrt{3}), (40, 0)}$$

**c) El valor de dicha área máxima. (2 puntos).** Sustituimos $x=13$ en la función área $A(x)$: $$A(13) = (40 - 13) \cdot f(13) = 27 \cdot 90\sqrt{3}$$ $$A(13) = 2430\sqrt{3}$$ Si queremos el valor aproximado: $$A(13) \approx 2430 \cdot 1.732 \approx 4208.88$$ ✅ **Resultado (área máxima):** $$\boxed{Area_{máx} = 2430\sqrt{3} \text{ unidades}^2}$$