Geometría en el espacio: Rectas, distancia y perpendicular común

**a) Un punto y un vector director de cada una de las dos rectas. (3 puntos).** La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos (forma implícita): $r : \begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y + z = 1 \end{cases}$ **Vector director de $r$ ($\vec{v}_r$):** Se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta, $\vec{n}_1 = (1, -1, 1)$ y $\vec{n}_2 = (2, 1, 1)$: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(-1 \cdot 1) + \mathbf{j}(1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot 1) - [\mathbf{k}(-1 \cdot 2) + \mathbf{i}(1 \cdot 1) + \mathbf{j}(1 \cdot 1)]$$ $$\vec{v}_r = (-\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) - (-2\mathbf{k} + \mathbf{i} + \mathbf{j}) = -2\mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_r = (-2, 1, 3)$$ **Punto de $r$ ($P_r$):** Asignamos un valor a una de las variables, por ejemplo $z = 0$, y resolvemos el sistema: $$\begin{cases} x - y = 0 \implies x = y \\ 2x + y = 1 \end{cases}$$ Sustituyendo $x=y$ en la segunda ecuación: $2x + x = 1 \implies 3x = 1 \implies x = 1/3, y = 1/3$. 💡 **Tip:** Para encontrar un punto en una recta implícita, basta con fijar una coordenada (la que no anule el sistema) y resolver las otras dos. $$\boxed{P_r = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0\right), \quad \vec{v}_r = (-2, 1, 3)}$$

La recta $s$ viene dada en forma continua: $s : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 0}{1}$ De esta expresión podemos extraer directamente los elementos: - El punto $P_s$ se obtiene de los valores que restan a las variables en el numerador: **$P_s = (1, 2, 0)$**. - El vector director $\vec{v}_s$ se obtiene de los denominadores: **$\vec{v}_s = (1, 1, 1)$**. 💡 **Tip:** En la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$. $$\boxed{P_s = (1, 2, 0), \quad \vec{v}_s = (1, 1, 1)}$$

**b) La distancia entre las rectas $r$ y $s$, (2 puntos), justificando que las rectas $r$ y $s$ se cruzan. (2 puntos).** Para justificar que se cruzan, primero comprobamos que sus vectores directores no son paralelos: $\vec{v}_r = (-2, 1, 3)$ y $\vec{v}_s = (1, 1, 1)$. Como $\frac{-2}{1} \neq \frac{1}{1} \neq \frac{3}{1}$, los vectores **no son proporcionales**, por lo tanto las rectas no son paralelas ni coincidentes. Ahora calculamos el producto mixto entre $\vec{v}_r, \vec{v}_s$ y el vector $\vec{P_r P_s}$: $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = \left(1 - \frac{1}{3}, 2 - \frac{1}{3}, 0 - 0\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{5}{3}, 0\right)$. Determinamos el producto mixto $[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}]$: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{|r|} -2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2/3 & 5/3 & 0 \end{|r|} = \left(0 + \frac{2}{3} + 5\right) - \left(2 - \frac{10}{3} + 0\right)$$ $$= \frac{17}{3} - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{21}{3} = 7$$ Como el determinante es **distinto de cero**, los tres vectores son linealmente independientes, lo que significa que las rectas **se cruzan** en el espacio. $$\boxed{\text{Como } \det \neq 0 \text{ y vectores no paralelos, las rectas se cruzan.}}$$

La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula mediante la fórmula: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Ya sabemos que el numerador (valor absoluto del producto mixto) es $|7| = 7$. Calculamos ahora el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 - 3) - \mathbf{j}(-2 - 3) + \mathbf{k}(-2 - 1) = (-2, 5, -3)$$ El módulo de este vector es: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}$$ Por tanto, la distancia es: $$d(r, s) = \frac{7}{\sqrt{38}} = \frac{7\sqrt{38}}{38} \approx 1.135 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \frac{7\sqrt{38}}{38}}$$

**c) Obtener unas ecuaciones de la recta $t$ que pasa por el punto $P_t = \left( \frac{41}{57}, -\frac{14}{57}, 0 \right)$ y es perpendicular a las rectas $r$ y $s$. (3 puntos).** Si la recta $t$ es perpendicular a $r$ y a $s$, su vector director $\vec{v}_t$ debe ser perpendicular a $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ simultáneamente. Este vector es el producto vectorial calculado en el apartado anterior: $$\vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = (-2, 5, -3)$$ Utilizamos el punto dado $P_t = \left( \frac{41}{57}, -\frac{14}{57}, 0 \right)$ y el vector $\vec{v}_t$ para escribir las ecuaciones paramétricas de la recta $t$: $$t : \begin{cases} x = \frac{41}{57} - 2\lambda \\ y = -\frac{14}{57} + 5\lambda \\ z = -3\lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ O bien, en forma continua: $$t : \frac{x - 41/57}{-2} = \frac{y + 14/57}{5} = \frac{z}{-3}$$ 💡 **Tip:** La recta perpendicular común a otras dos siempre tiene como dirección el producto vectorial de los vectores directores de dichas rectas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t : \begin{cases} x = \frac{41}{57} - 2\lambda \\ y = -\frac{14}{57} + 5\lambda \\ z = -3\lambda \end{cases}}$$