Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

Para analizar el sistema según el parámetro $\alpha$, primero lo escribimos en forma matricial $A \cdot X = B$: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}, \quad \bar{A} = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & \alpha & 1 & | & 1 \\ 3 & 5 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{vmatrix} = (\alpha \cdot \alpha \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 3) + (1 \cdot 1 \cdot 5) - (3 \cdot \alpha \cdot 1) - (5 \cdot 1 \cdot \alpha) - (1 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = \alpha^2 + 3 + 5 - 3\alpha - 5\alpha - 1 = \alpha^2 - 8\alpha + 7$$ Buscamos los valores de $\alpha$ que anulan el determinante: $$\alpha^2 - 8\alpha + 7 = 0 \implies \alpha = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}$$ Obtenemos los valores críticos: **$\alpha = 7$** y **$\alpha = 1$**. 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos permite determinar cuándo el sistema tiene solución única (SCD) o si debemos investigar más profundamente (SCI o SI) mediante el Teorema de Rouché-Frobenius.

**a) Todas las soluciones del sistema cuando $\alpha = 7$. (4 puntos).** Sustituimos $\alpha = 7$ en la matriz ampliada $\bar{A}$: $$\bar{A} = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 7 & 1 & | & 1 \\ 3 & 5 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$$ Como sabemos que $|A| = 0$ para $\alpha = 7$, el rango de $A$ es menor que 3. Existe un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = 48 \neq 0$, por lo tanto **$rg(A) = 2$**. Para el rango de la matriz ampliada $\bar{A}$, observamos que la columna de términos independientes es idéntica a la tercera columna de $A$. Esto implica que el rango de $\bar{A}$ no puede aumentar, por lo que **$rg(\bar{A}) = 2$**. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $rg(A) = rg(\bar{A}) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado (Tipo de sistema):** $$\boxed{\text{Compatible Indeterminado para } \alpha = 7}$$

Para resolver el sistema cuando $\alpha = 7$, nos quedamos con dos ecuaciones linealmente independientes (las dos primeras) y pasamos una de las incógnitas al segundo miembro como parámetro: $$\begin{cases} 7x + y = 1 - z \\ x + 7y = 1 - z \end{cases}$$ Restando ambas ecuaciones: $$(7x + y) - (x + 7y) = (1 - z) - (1 - z) \implies 6x - 6y = 0 \implies x = y$$ Sustituyendo $x = y$ en la tercera ecuación original (como comprobación o para facilitar el cálculo de $z$): $$3x + 5x + z = 1 \implies 8x + z = 1 \implies z = 1 - 8x$$ Asignamos un parámetro $\lambda$ a la variable $x$: $$x = \lambda, \quad y = \lambda, \quad z = 1 - 8\lambda$$ ✅ **Resultado (Soluciones):** $$\boxed{\{(x, y, z) = (\lambda, \lambda, 1 - 8\lambda) : \lambda \in \mathbb{R}\}}$$

**b) Los valores de $\alpha$ para los que el sistema es compatible indeterminado. (3 puntos).** Un sistema es compatible indeterminado cuando $rg(A) = rg(\bar{A}) < 3$. Ya hemos visto que esto ocurre para **$\alpha = 7$**. Analizamos ahora el otro valor crítico, **$\alpha = 1$**: $$\bar{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 3 & 5 & 1 & | & 1 \end{pmatrix}$$ En la matriz $A$: - Las filas 1 y 2 son idénticas, por lo que el rango es menor que 3. - El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 3 = 2 \neq 0$, por lo que **$rg(A) = 2$**. - En la matriz ampliada $\bar{A}$, la columna de términos independientes es idéntica a las columnas 1, 2 y 3. Por tanto, no puede aumentar el rango, **$rg(\bar{A}) = 2$**. Como $rg(A) = rg(\bar{A}) = 2 < 3$, el sistema también es **Compatible Indeterminado** para $\alpha = 1$. ✅ **Resultado (SCI):** $$\boxed{\alpha = 1 \text{ y } \alpha = 7}$$

**c) Los valores de $\alpha$ para los cuales el sistema es compatible determinado. (3 puntos).** Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es Compatible Determinado (solución única) si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada e igual al número de incógnitas: $$rg(A) = rg(\bar{A}) = 3$$ Esto sucede siempre que el determinante de $A$ sea distinto de cero: $$|A| \neq 0 \implies \alpha^2 - 8\alpha + 7 \neq 0$$ Los valores que hacían el determinante cero eran $\alpha = 1$ y $\alpha = 7$. Por lo tanto, el sistema es compatible determinado para todos los valores reales de $\alpha$ excepto el 1 y el 7. ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{1, 7\}}$$