Estudio de funciones logarítmicas: derivadas, dominios y suma

**a) Las derivadas de $f(x)$ y $g(x)$. (4 puntos).** Para facilitar el cálculo de la derivada de $f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$, aplicamos primero las propiedades de los logaritmos: $$f(x) = \frac{1}{2} \left[ \ln(1 + x) - \ln(1 - x) \right]$$ Ahora derivamos término a término: $$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1 + x} - \frac{-1}{1 - x} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x} \right]$$ Sumamos las fracciones buscando un denominador común: $$f'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{(1 - x) + (1 + x)}{(1 + x)(1 - x)} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{1 - x^2} \right] = \frac{1}{1 - x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ y que la derivada de $\ln(u)$ es $u'/u$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \frac{1}{1 - x^2}}$$

Para derivar $g(x) = \ln \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$, también simplificamos la expresión usando propiedades logarítmicas: $$g(x) = \ln \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right)^{1/2} = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right) = \frac{1}{2} \left[ \ln(1 - x) - \ln(1 + x) \right]$$ Derivamos: $$g'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{-1}{1 - x} - \frac{1}{1 + x} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{-(1 + x) - (1 - x)}{(1 - x)(1 + x)} \right]$$ $$g'(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{-1 - x - 1 + x}{1 - x^2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{-2}{1 - x^2} \right] = -\frac{1}{1 - x^2}$$ Observamos que $g'(x) = -f'(x)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = -\frac{1}{1 - x^2}}$$

**b) Los dominios de definición de las funciones $f(x)$ y $g(x)$. (3 puntos).** El logaritmo neperiano solo está definido para valores estrictamente positivos de su argumento. Para $f(x)$, debemos cumplir: $$\frac{1 + x}{1 - x} \gt 0$$ Analizamos los puntos donde el numerador o el denominador se anulan: $x = -1$ y $x = 1$. Estudiamos el signo en los intervalos resultantes: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & (-1,1) & (1,+\infty)\\ \hline 1+x & - & + & +\\ 1-x & + & + & -\\ \hline \frac{1+x}{1-x} & - & + & - \end{array}$$ La fracción es positiva únicamente en el intervalo $(-1, 1)$. Dado que en $x=1$ hay una asíntota vertical (denominador cero) y en $x=-1$ el logaritmo de cero no existe, el dominio es abierto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = (-1, 1)}$$

Para $g(x) = \ln \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$, la raíz cuadrada exige que $\frac{1 - x}{1 + x} \ge 0$, pero el logaritmo exige que el argumento de la raíz sea estrictamente positivo (y la raíz de un número positivo siempre es positiva). Por tanto: $$\frac{1 - x}{1 + x} \gt 0$$ Analizamos los signos con los puntos críticos $x=1$ y $x=-1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & (-1,1) & (1,+\infty)\\ \hline 1-x & + & + & -\\ 1+x & - & + & +\\ \hline \frac{1-x}{1+x} & - & + & - \end{array}$$ Nuevamente, la condición se cumple solo en el intervalo $(-1, 1)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Dom}(g) = (-1, 1)}$$

**c) La expresión simplificada de la función $f(x) + g(x)$, (1,5 puntos), y el recorrido de esta función $f(x) + g(x)$. (1,5 puntos).** Sumamos ambas expresiones utilizando las formas simplificadas obtenidas anteriormente mediante propiedades logarítmicas: $$f(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)$$ $$g(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right)$$ Sumamos: $$f(x) + g(x) = \frac{1}{2} \left[ \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) + \ln \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right) \right]$$ Usamos la propiedad $\ln(A) + \ln(B) = \ln(A \cdot B)$: $$f(x) + g(x) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{1 + x} \right) = \frac{1}{2} \ln(1)$$ Como $\ln(1) = 0$: $$f(x) + g(x) = 0 \quad \text{para todo } x \in (-1, 1)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{(f+g)(x) = 0}$$

La función suma $h(x) = f(x) + g(x)$ es una función constante e igual a $0$ en todo su dominio, que es la intersección de los dominios de $f$ y $g$, es decir, $\text{Dom}(h) = (-1, 1)$. El recorrido (o imagen) de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente $y$. Al ser una función constante, solo toma un valor. 💡 **Tip:** El recorrido de una función constante $y = k$ es simplemente el conjunto unitario $\{k\}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Recorrido} = \{0\}}$$