Geometría en el espacio: rectas, planos y áreas

**a) Unas ecuaciones implícitas de $r_1$. (2 puntos).** Para obtener las ecuaciones implícitas (o cartesianas) de una recta a partir de sus paramétricas, debemos eliminar el parámetro $\alpha$. De la recta $r_1$ tenemos: $$\begin{cases} x = 1 + 2\alpha \\ y = \alpha \\ z = 2 - \alpha \end{cases}$$ Podemos despejar $\alpha$ de cada ecuación: 1. $\alpha = \dfrac{x-1}{2}$ 2. $\alpha = y$ 3. $\alpha = 2 - z$ Igualamos las expresiones para obtener la ecuación en forma continua: $$\frac{x-1}{2} = y = \frac{z-2}{-1}$$ Ahora, formamos el sistema de dos ecuaciones independientes: - De $\dfrac{x-1}{2} = y \implies x - 1 = 2y \implies x - 2y - 1 = 0$ - De $y = \dfrac{z-2}{-1} \implies -y = z - 2 \implies y + z - 2 = 0$ 💡 **Tip:** Recuerda que las ecuaciones implícitas de una recta se expresan como la intersección de dos planos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r_1 : \begin{cases} x - 2y - 1 = 0 \\ y + z - 2 = 0 \end{cases}}$$

**b) La justificación de que las rectas $r_1$ y $r_2$ están contenidas en un plano $\pi$, (2 puntos) y la ecuación de ese plano $\pi$. (2 puntos).** Primero extraemos los elementos característicos de cada recta: - Recta $r_1$: Punto $A_1(1, 0, 2)$ y vector director $\vec{v}_1 = (2, 1, -1)$. - Recta $r_2$: Punto $A_2(-1, 1, -1)$ y vector director $\vec{v}_2 = (0, 1, -2)$. Comprobamos si los vectores directores son paralelos. Como $\dfrac{2}{0} \neq \dfrac{1}{1}$, los vectores **no son paralelos**, por lo que las rectas se cortan o se cruzan. Calculamos el vector que une ambos puntos: $\vec{A_1A_2} = (-1-1, 1-0, -1-2) = (-2, 1, -3)$. Para que estén en el mismo plano (sean coplanarias), el determinante formado por $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ y $\vec{A_1A_2}$ debe ser cero: $$\det(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{A_1A_2}) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$[2\cdot 1 \cdot (-3) + 1 \cdot (-2) \cdot (-2) + (-1) \cdot 0 \cdot 1] - [(-1) \cdot 1 \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-3)]$$ $$= [-6 + 4 + 0] - [2 - 4 + 0] = -2 - (-2) = 0$$ Como el determinante es **cero** y los vectores directores no son paralelos, las rectas se cortan en un punto y, por tanto, **están contenidas en un mismo plano $\pi$**.

El plano $\pi$ viene determinado por el punto $A_1(1, 0, 2)$ y los vectores directores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$. Calculamos el vector normal al plano $\vec{n}_\pi = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2$: $$\vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}(-2 - (-1)) - \vec{j}(-4 - 0) + \vec{k}(2 - 0) = (-1, 4, 2)$$ La ecuación del plano será de la forma $-x + 4y + 2z + D = 0$. Sustituimos el punto $A_1(1, 0, 2)$: $$-(1) + 4(0) + 2(2) + D = 0 \implies -1 + 4 + D = 0 \implies D = -3$$ 💡 **Tip:** También puedes obtener la ecuación resolviendo el determinante $\det(\vec{X-A_1}, \vec{v}_1, \vec{v}_2) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi : x - 4y - 2z + 3 = 0}$$

**c) El área del triángulo de vértices $P$, $Q$ y $R$, siendo $P = (-1, 0, 1)$, $Q = (0, 1, 2)$ y $R$ el punto de intersección de $r_1$ y $r_2$. (4 puntos).** Igualamos las coordenadas de las rectas $r_1$ y $r_2$ en sus formas paramétricas: $$\begin{cases} 1 + 2\alpha = -1 \\ \alpha = 1 + \beta \\ 2 - \alpha = -1 - 2\beta \end{cases}$$ De la primera ecuación: $2\alpha = -2 \implies \alpha = -1$. Sustituimos en la segunda: $-1 = 1 + \beta \implies \beta = -2$. Comprobamos en la tercera: $2 - (-1) = 3$ y $-1 - 2(-2) = -1 + 4 = 3$. Se cumple. Sustituimos $\alpha = -1$ en $r_1$ (o $\beta = -2$ en $r_2$) para hallar $R$: $$x = 1 + 2(-1) = -1$$ $$y = -1$$ $$z = 2 - (-1) = 3$$ ✅ **Punto de intersección:** $$\boxed{R(-1, -1, 3)}$$

El área de un triángulo de vértices $P, Q, R$ se calcula mediante el producto vectorial: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$$ Calculamos los vectores: $$\vec{PQ} = Q - P = (0 - (-1), 1 - 0, 2 - 1) = (1, 1, 1)$$ $$\vec{PR} = R - P = (-1 - (-1), -1 - 0, 3 - 1) = (0, -1, 2)$$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(2+1) - \vec{j}(2-0) + \vec{k}(-1-0) = (3, -2, -1)$$ Calculamos su módulo: $$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$$ El área es: $$\text{Área} = \frac{\sqrt{14}}{2} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que forman. La del triángulo es exactamente la mitad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1.87 \text{ u}^2}$$