Propiedades de matrices, matriz inversa y potencias

**a) Si el producto de dos matrices cuadradas $A$ y $B$ es conmutativo, es decir que $AB = BA$, entonces se deduce que $A^2 B^2 = (AB)^2$. (2 puntos).** Partimos de la definición de la potencia de una matriz: $$(AB)^2 = (AB) \cdot (AB)$$ Utilizando la propiedad asociativa del producto de matrices, podemos reescribir la expresión como: $$(AB)^2 = A \cdot (B \cdot A) \cdot B$$ Como el enunciado nos indica que las matrices conmutan, es decir, $BA = AB$, sustituimos en la expresión anterior: $$(AB)^2 = A \cdot (A \cdot B) \cdot B$$ Nuevamente, aplicando la propiedad asociativa: $$(AB)^2 = (A \cdot A) \cdot (B \cdot B)$$ $$(AB)^2 = A^2 \cdot B^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que, en general, el producto de matrices **no es conmutativo** ($AB \neq BA$). Esta igualdad solo es cierta cuando se especifica que conmutan. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 B^2 = (AB)^2 \text{ si } AB = BA}$$

**b) Que la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 10 \\ 0 & -3 & 7 \end{pmatrix}$ satisface la relación $A^2 - 3A + 2I = O$, siendo $I$ y $O$, respectivamente, las matrices de orden $3 \times 3$ unidad y nula, (4 puntos)...** Primero calculamos $A^2$ multiplicando $A$ por sí misma: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 10 \\ 0 & -3 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 10 \\ 0 & -3 & 7 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones fila por columna: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & (-4)(-4) + 10(-3) & (-4)(10) + 10(7) \\ 0 & (-3)(-4) + 7(-3) & (-3)(10) + 7(7) \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 16 - 30 & -40 + 70 \\ 0 & 12 - 21 & -30 + 49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -14 & 30 \\ 0 & -9 & 19 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $3A$ y $2I$: $$3A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -12 & 30 \\ 0 & -9 & 21 \end{pmatrix}, \quad 2I = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, calculamos $A^2 - 3A + 2I$: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -14 & 30 \\ 0 & -9 & 19 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -12 & 30 \\ 0 & -9 & 21 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3+2 & 0 & 0 \\ 0 & -14+12+2 & 30-30+0 \\ 0 & -9+9+0 & 19-21+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 - 3A + 2I = O}$$

**...y que una matriz $A$ tal que $A^2 - 3A + 2I = O$ tiene matriz inversa. (2 puntos)** Partimos de la igualdad dada y despejamos el término que contiene la matriz identidad $I$: $$A^2 - 3A = -2I$$ Multiplicamos toda la ecuación por $-1$ para facilitar el despeje: $$3A - A^2 = 2I$$ Sacamos factor común la matriz $A$ por la izquierda: $$A \cdot (3I - A) = 2I$$ Dividimos ambos miembros por $2$ (o multiplicamos por $1/2$): $$A \cdot \left[ \frac{1}{2}(3I - A) \right] = I$$ Por definición, si existe una matriz $B$ tal que $A \cdot B = I$, entonces $A$ es invertible y $B = A^{-1}$. En este caso: $$B = \frac{1}{2}(3I - A)$$ 💡 **Tip:** Para demostrar que una matriz es invertible a partir de una ecuación polinómica, el objetivo es siempre aislar la identidad $I$ y factorizar $A$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ es invertible y } A^{-1} = \frac{1}{2}(3I - A)}$$

**c) Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, los valores $\alpha$ y $\beta$ tales que $A^3 = \alpha A + \beta I$, sabiendo que la matriz $A$ verifica la igualdad $A^2 - 3A + 2I = O$. (2 puntos).** De la igualdad $A^2 - 3A + 2I = O$, podemos despejar $A^2$: $$A^2 = 3A - 2I$$ Para hallar $A^3$, multiplicamos ambos miembros de la ecuación anterior por $A$: $$A \cdot A^2 = A \cdot (3A - 2I)$$ $$A^3 = 3A^2 - 2A$$ Ahora, sustituimos el valor de $A^2$ que despejamos al principio en esta nueva expresión: $$A^3 = 3(3A - 2I) - 2A$$ $$A^3 = 9A - 6I - 2A$$ $$A^3 = 7A - 6I$$ Comparando con la expresión pedida $A^3 = \alpha A + \beta I$, identificamos los coeficientes: $$\alpha = 7$$ $$\beta = -6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 7, \beta = -6}$$