Geometría en el espacio: planos, rectas y ángulos

**a) (1,5 puntos) Determinar la ecuación del plano que pasa por $P$, es paralelo a la recta $r$ y perpendicular al plano $\pi$.** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal). El plano que buscamos, llamémosle $\alpha$, contiene al punto $P(1, 0, -1)$. 1. Como $\alpha$ es paralelo a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ es un vector director del plano. 2. Como $\alpha$ es perpendicular al plano $\pi$, el vector normal de dicho plano $\vec{n}_\pi$ es también un vector director de $\alpha$. Calculamos el vector normal de $\pi \equiv 2x - y + z + 1 = 0$: $$\vec{n}_\pi = (2, -1, 1)$$ Calculamos el vector director de $r$ realizando el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: $r \equiv \begin{cases} \pi_1: -2x + y - 1 = 0 \rightarrow \vec{n}_1 = (-2, 1, 0) \\ \pi_2: 3x - z - 3 = 0 \rightarrow \vec{n}_2 = (3, 0, -1) \end{cases}$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r = (1(-1) - 0) \mathbf{i} - ((-2)(-1) - 0) \mathbf{j} + (0 - 3(1)) \mathbf{k} = -1\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k} = (-1, -2, -3)$$ Para simplificar, tomamos $\vec{v}_r = (1, 2, 3)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos.

Ahora que tenemos los dos vectores directores del plano $\alpha$, $\vec{u} = \vec{v}_r = (1, 2, 3)$ y $\vec{v} = \vec{n}_\pi = (2, -1, 1)$, calculamos su vector normal $\vec{n}_\alpha$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_\alpha = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_\alpha = [2(1) - 3(-1)]\mathbf{i} - [1(1) - 3(2)]\mathbf{j} + [1(-1) - 2(2)]\mathbf{k}$$ $$\vec{n}_\alpha = (2 + 3)\mathbf{i} - (1 - 6)\mathbf{j} + (-1 - 4)\mathbf{k} = 5\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 5\mathbf{k} = (5, 5, -5)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo entre 5: $$\vec{n}_\alpha = (1, 1, -1)$$

Con el vector normal $\vec{n}_\alpha = (1, 1, -1)$ y el punto $P(1, 0, -1)$, la ecuación del plano $\alpha$ es: $$1(x - 1) + 1(y - 0) - 1(z - (-1)) = 0$$ $$x - 1 + y - (z + 1) = 0$$ $$x + y - z - 2 = 0$$ 💡 **Tip:** La ecuación de un plano que pasa por $(x_0, y_0, z_0)$ con vector normal $(A, B, C)$ es $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha \equiv x + y - z - 2 = 0}$$

**b) (0,5 puntos) Hallar el ángulo entre $r$ y $\pi$.** El ángulo $\beta$ entre una recta $r$ (con vector director $\vec{v}_r$) y un plano $\pi$ (con vector normal $\vec{n}_\pi$) se calcula mediante la razón del seno: $$\sin(\beta) = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{n}_\pi|}$$ Ya conocemos los vectores: - $\vec{v}_r = (1, 2, 3)$ - $\vec{n}_\pi = (2, -1, 1)$ Calculamos el producto escalar: $$|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi| = |(1)(2) + (2)(-1) + (3)(1)| = |2 - 2 + 3| = 3$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$$ $$|\vec{n}_\pi| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ Sustituimos en la fórmula: $$\sin(\beta) = \frac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}}$$ Podemos simplificar $\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$: $$\sin(\beta) = \frac{3}{2\sqrt{21}}$$ Calculamos el ángulo: $$\beta = \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{84}}\right) \approx 19.11^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\beta = \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{84}}\right) \text{ rad} \approx 19.11^\circ}$$