Intersección recta-esfera y distancia punto-recta

**a) (1 punto) Hallar los puntos de corte de la recta de dirección $(2, 1, 1)$ y que pasa por el punto $P(4, 6, 2)$, con la superficie esférica de centro $C(1, 2, -1)$ y radio $\sqrt{26}$.** Primero, expresamos la recta $s$ en sus ecuaciones paramétricas utilizando el punto $P(4, 6, 2)$ y el vector director $\vec{v} = (2, 1, 1)$: $$s \equiv \begin{cases} x = 4 + 2\lambda \\ y = 6 + \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}$$ Por otro lado, la ecuación de una esfera de centro $C(c_1, c_2, c_3)$ y radio $R$ es $(x-c_1)^2 + (y-c_2)^2 + (z-c_3)^2 = R^2$. Con $C(1, 2, -1)$ y $R = \sqrt{26}$: $$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = (\sqrt{26})^2$$ $$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 26$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para hallar la intersección entre una recta y una superficie, lo más sencillo es sustituir las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación de la superficie.

Sustituimos las expresiones paramétricas de la recta en la ecuación de la esfera: $$(4 + 2\lambda - 1)^2 + (6 + \lambda - 2)^2 + (2 + \lambda + 1)^2 = 26$$ $$(3 + 2\lambda)^2 + (4 + \lambda)^2 + (3 + \lambda)^2 = 26$$ Desarrollamos los productos notables $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$(9 + 12\lambda + 4\lambda^2) + (16 + 8\lambda + \lambda^2) + (9 + 6\lambda + \lambda^2) = 26$$ Agrupamos términos semejantes: $$(4\lambda^2 + \lambda^2 + \lambda^2) + (12\lambda + 8\lambda + 6\lambda) + (9 + 16 + 9) = 26$$ $$6\lambda^2 + 26\lambda + 34 = 26$$ $$6\lambda^2 + 26\lambda + 8 = 0$$ Simplificamos dividiendo entre $2$: $$3\lambda^2 + 13\lambda + 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 \pm \sqrt{169 - 48}}{6} = \frac{-13 \pm \sqrt{121}}{6} = \frac{-13 \pm 11}{6}$$ Obtenemos dos valores para el parámetro: - $\lambda_1 = \frac{-13 + 11}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ - $\lambda_2 = \frac{-13 - 11}{6} = \frac{-24}{6} = -4$

Calculamos las coordenadas de los puntos sustituyendo los valores de $\lambda$ en las ecuaciones de la recta $s$: Para **$\lambda_1 = -1/3$**: $$x = 4 + 2(-1/3) = 10/3$$ $$y = 6 - 1/3 = 17/3$$ $$z = 2 - 1/3 = 5/3$$ Obtenemos el punto $A(10/3, 17/3, 5/3)$. Para **$\lambda_2 = -4$**: $$x = 4 + 2(-4) = -4$$ $$y = 6 - 4 = 2$$ $$z = 2 - 4 = -2$$ Obtenemos el punto $B(-4, 2, -2)$. ✅ **Resultado (puntos de corte):** $$\boxed{A\left(\frac{10}{3}, \frac{17}{3}, \frac{5}{3}\right) \quad \text{y} \quad B(-4, 2, -2)}$$

**b) (1 punto) Hallar la distancia del punto $Q(-2, 1, 0)$ a la recta** $$r \equiv \frac{x - 1}{2} = y + 2 = \frac{z - 3}{2} .$$ Extraemos un punto $R$ y el vector director $\vec{u}$ de la recta $r$ dada en forma continua: - Punto de la recta: $R(1, -2, 3)$ - Vector director: $\vec{u} = (2, 1, 2)$ Calculamos el vector $\vec{RQ}$ que une el punto $R$ de la recta con el punto exterior $Q(-2, 1, 0)$: $$\vec{RQ} = Q - R = (-2 - 1, 1 - (-2), 0 - 3) = (-3, 3, -3)$$ 💡 **Tip:** La distancia de un punto $Q$ a una recta $r(R, \vec{u})$ viene dada por la fórmula: $$d(Q, r) = \frac{|\vec{u} \times \vec{RQ}|}{|\vec{u}|}$$

Calculamos el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{RQ}$ mediante el determinante: $$\vec{u} \times \vec{RQ} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ -3 & 3 & -3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{u} \times \vec{RQ} = \vec{i} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} - \vec{j} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -3 & -3 \end{vmatrix} + \vec{k} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 3 \end{vmatrix}$$ $$\vec{u} \times \vec{RQ} = \vec{i}(-3 - 6) - \vec{j}(-6 - (-6)) + \vec{k}(6 - (-3))$$ $$\vec{u} \times \vec{RQ} = -9\vec{i} + 0\vec{j} + 9\vec{k} = (-9, 0, 9)$$

Calculamos los módulos necesarios para la fórmula: - Módulo del producto vectorial: $$|\vec{u} \times \vec{RQ}| = \sqrt{(-9)^2 + 0^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$$ - Módulo del vector director de la recta: $$|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$ Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(Q, r) = \frac{9\sqrt{2}}{3} = 3\sqrt{2}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(Q, r) = 3\sqrt{2} \text{ unidades}}$$