Ecuación matricial y determinantes con parámetros

**a) (1 punto) Hallar el valor de $\lambda$ para el cual la ecuación matricial $XA = B$ tiene solución única.** Para que la ecuación matricial $XA = B$ tenga una solución única, la matriz $A$ debe ser invertible (es decir, debe existir $A^{-1}$). Si $A$ es invertible, podemos despejar $X$ multiplicando por la derecha por $A^{-1}$: $$X A A^{-1} = B A^{-1} \implies X = B A^{-1}$$ Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). 💡 **Tip:** Recuerda que en ecuaciones matriciales el orden importa. Como la $A$ está a la derecha de la $X$, debemos multiplicar por $A^{-1}$ por la derecha en ambos miembros.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot 1 \cdot (-1) + \lambda \cdot 2 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot (-1)] - [0 \cdot 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot \lambda]$$ $$|A| = [-1 + 0 + 0] - [0 - 2 - \lambda]$$ $$|A| = -1 + 2 + \lambda = 1 + \lambda$$ Para que exista solución única, imponemos que el determinante sea distinto de cero: $$1 + \lambda \neq 0 \implies \lambda \neq -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La ecuación tiene solución única para } \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}}$$

**b) (1 punto) Calcular la matriz $X$ para $\lambda = 4$.** Si $\lambda = 4$, el determinante es $|A| = 1 + 4 = 5 \neq 0$, por lo que $A$ es invertible. La solución es $X = B A^{-1}$. La matriz $A$ para este caso es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Necesitamos calcular la matriz inversa $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^t)$.

Primero hallamos la matriz traspuesta de $A$: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ Calculamos ahora los adjuntos de cada elemento de $A^t$ para obtener $\text{Adj}(A^t)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1 - (-2) = 1$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-4 - 0) = 4$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 8 - 0 = 8$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 0 = -1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 0 = -1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 4 = -3$ La matriz adjunta de la traspuesta es: $$\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 8 \\ 1 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Por tanto: $$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 8 \\ 1 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Puedes comprobar que la inversa es correcta multiplicando $A \cdot A^{-1} = I$.

Multiplicamos $B$ por $A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 8 \\ 1 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} (0+1-1) & (0-1+1) & (0-2-3) \\ (1+0+1) & (4+0-1) & (8+0+3) \\ (2+1+0) & (8-1+0) & (16-2+0) \end{pmatrix}$$ $$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 2 & 3 & 11 \\ 3 & 7 & 14 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 2/5 & 3/5 & 11/5 \\ 3/5 & 7/5 & 14/5 \end{pmatrix}}$$

**c) (1 punto) Calcular el determinante de la matriz $A^2 B$ en función de $\lambda$.** Utilizamos las propiedades de los determinantes: 1. El determinante de un producto es el producto de los determinantes: $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. 2. El determinante de una potencia es la potencia del determinante: $|M^k| = |M|^k$. Por lo tanto: $$|A^2 B| = |A^2| \cdot |B| = |A|^2 \cdot |B|$$ Del apartado (a) ya sabemos que $|A| = 1 + \lambda$. Por tanto, $|A|^2 = (1 + \lambda)^2$. 💡 **Tip:** No es necesario calcular la matriz $A^2 B$ explícitamente; trabajar con las propiedades de los determinantes es mucho más rápido y evita errores de cálculo.

Calculamos el determinante de $B$ por Sarrus: $$|B| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$|B| = [0 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 1] - [2 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|B| = [0 - 2 + 1] - [0 + 0 + 0] = -1$$ Sustituimos en la expresión del paso anterior: $$|A^2 B| = (1 + \lambda)^2 \cdot (-1) = -(1 + \lambda)^2$$ Podemos desarrollar el binomio si se desea: $-(1 + 2\lambda + \lambda^2) = -\lambda^2 - 2\lambda - 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A^2 B| = -(1 + \lambda)^2}$$