Estudio completo e integración de una función trigonométrica

**a) (1 punto) Determinar los extremos absolutos de $f(x)$ en $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$** Para encontrar los extremos absolutos en un intervalo cerrado, debemos evaluar la función en los extremos del intervalo y en los puntos donde la derivada se anula (puntos críticos). Calculamos la primera derivada de $f(x) = 2 \cos^2 x$ usando la regla de la cadena: $$f'(x) = 2 \cdot 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -4 \cos x \sin x$$ Utilizando la identidad trigonométrica del ángulo doble $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, simplificamos la expresión: $$f'(x) = -2 \sin(2x)$$ Buscamos los puntos críticos igualando a cero: $$-2 \sin(2x) = 0 \implies \sin(2x) = 0$$ En el intervalo dado $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, el argumento $2x$ se encuentra en $[-\pi, \pi]$. Los valores donde el seno es cero en ese rango son: $2x = -\pi \implies x = -\pi/2$ $2x = 0 \implies x = 0$ $2x = \pi \implies x = \pi/2$ 💡 **Tip:** Los extremos del intervalo ya están incluidos en los puntos críticos hallados. $$\boxed{f'(x) = -2 \sin(2x)}$$

Evaluamos la función original $f(x) = 2 \cos^2 x$ en los puntos candidatos: 1. En $x = -\frac{\pi}{2}$: $$f(-\pi/2) = 2 \cos^2(-\pi/2) = 2(0)^2 = 0$$ 2. En $x = 0$: $$f(0) = 2 \cos^2(0) = 2(1)^2 = 2$$ 3. En $x = \frac{\pi}{2}$: $$f(\pi/2) = 2 \cos^2(\pi/2) = 2(0)^2 = 0$$ Comparando los valores obtenidos: - El valor máximo es $2$. - El valor mínimo es $0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo absoluto en } (0, 2), \text{ Mínimos absolutos en } (-\pi/2, 0) \text{ y } (\pi/2, 0)}$$

**b) (1 punto) Determinar los puntos de inflexión de $f(x)$ en $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$** Los puntos de inflexión son aquellos donde la curvatura cambia, lo que ocurre en los puntos donde $f''(x) = 0$ (o no existe) y hay un cambio de signo en la segunda derivada. Derivamos $f'(x) = -2 \sin(2x)$: $$f''(x) = -2 \cos(2x) \cdot 2 = -4 \cos(2x)$$ Igualamos a cero para encontrar candidatos: $$-4 \cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = 0$$ Dado que $2x \in [-\pi, \pi]$, los valores donde el coseno se anula son: $2x = -\pi/2 \implies x = -\pi/4$ $2x = \pi/2 \implies x = \pi/4$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\sin(kx)$ es $k \cos(kx)$.

Analizamos el signo de $f''(x) = -4 \cos(2x)$ en el intervalo $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & [-\pi/2, -\pi/4) & -\pi/4 & (-\pi/4, \pi/4) & \pi/4 & (\pi/4, \pi/2] \\\hline f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \\\hline \text{Curvatura} & \cup & \text{Inflexión} & \cap & \text{Inflexión} & \cup \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de los puntos de inflexión: $$f(-\pi/4) = 2 \cos^2(-\pi/4) = 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1$$ $$f(\pi/4) = 2 \cos^2(\pi/4) = 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1$$ Al existir cambio de signo en $f''(x)$, confirmamos que son puntos de inflexión. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Puntos de inflexión en: } (-\pi/4, 1) \text{ y } (\pi/4, 1)}$$

**c) (1 punto) Calcular $\int_{0}^{\pi/2} f(x) dx$.** Debemos calcular: $$I = \int_{0}^{\pi/2} 2 \cos^2 x \, dx$$ Para integrar $\cos^2 x$, utilizamos la identidad trigonométrica de reducción de potencia: $$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$ Sustituyendo en la integral: $$I = \int_{0}^{\pi/2} 2 \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right) dx = \int_{0}^{\pi/2} (1 + \cos(2x)) \, dx$$ 💡 **Tip:** Esta identidad es fundamental para integrar potencias pares de seno y coseno sin recurrir a métodos más complejos.

Calculamos la primitiva: $$\int (1 + \cos(2x)) \, dx = x + \frac{1}{2} \sin(2x)$$ Aplicamos la regla de Barrow en los límites $[0, \pi/2]$: $$I = \left[ x + \frac{1}{2} \sin(2x) \right]_{0}^{\pi/2}$$ Evaluamos: $$I = \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2} \sin(0) \right)$$ $$I = \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin(\pi) \right) - (0 + 0)$$ $$I = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{0}^{\pi/2} f(x) dx = \frac{\pi}{2}}$$