Integrales indefinidas y definidas

**a) (1 punto) $\int \frac{x - 3}{x^2 + 9} dx.$** Observamos que el denominador $x^2 + 9$ no tiene raíces reales (es una suma de cuadrados). El numerador es de primer grado, por lo que podemos descomponer la integral en dos partes: una que dará lugar a un logaritmo neperiano (donde el numerador sea la derivada del denominador) y otra que dará lugar a un arco tangente. Separamos la fracción: $$\int \frac{x - 3}{x^2 + 9} dx = \int \frac{x}{x^2 + 9} dx - \int \frac{3}{x^2 + 9} dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas una integral de tipo racional con un denominador de segundo grado sin raíces reales, intenta separarla en una parte logarítmica (ajustando la derivada) y una parte de tipo arco tangente.

Para la primera integral, $\int \frac{x}{x^2 + 9} dx$, necesitamos que el numerador sea la derivada del denominador, es decir, $(x^2 + 9)' = 2x$. Multiplicamos y dividimos por $2$: $$\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 9} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 9)$$ No es necesario poner valor absoluto en el logaritmo porque $x^2 + 9 > 0$ para cualquier valor de $x$. 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$.

Para la segunda integral, $\int \frac{3}{x^2 + 9} dx$, buscamos la forma $\int \frac{1}{1 + u^2} du = \arctan(u)$. Extraemos factor común $9$ en el denominador: $$\int \frac{3}{9 \left( \frac{x^2}{9} + 1 \right)} dx = \frac{3}{9} \int \frac{1}{1 + \left( \frac{x}{3} \right)^2} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + \left( \frac{x}{3} \right)^2} dx$$ Para que el numerador sea la derivada de $\frac{x}{3}$ (que es $1/3$), aprovechamos la constante exterior: $$\int \frac{1/3}{1 + (x/3)^2} dx = \arctan\left( \frac{x}{3} \right)$$ 💡 **Tip:** Una fórmula directa muy útil es $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right)$.

Combinamos los resultados obtenidos en los pasos anteriores y añadimos la constante de integración $C$: $$\int \frac{x - 3}{x^2 + 9} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 9) - \arctan\left(\frac{x}{3}\right) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{1}{2} \ln(x^2 + 9) - \arctan\left(\frac{x}{3}\right) + C}$$

**b) (1 punto) $\int_{1}^{2} \frac{3 - x^2 + x^4}{x^3} dx.$** Antes de integrar, simplificamos la expresión racional dividiendo cada término del numerador por $x^3$: $$\frac{3 - x^2 + x^4}{x^3} = \frac{3}{x^3} - \frac{x^2}{x^3} + \frac{x^4}{x^3} = 3x^{-3} - \frac{1}{x} + x$$ Esto nos permite integrar de forma inmediata utilizando las reglas básicas de las potencias. 💡 **Tip:** En integrales de una sola fracción con un monomio en el denominador, siempre es más fácil descomponerla en suma de potencias antes de aplicar cualquier otro método.

Calculamos la integral indefinida (primitiva $F(x)$): $$F(x) = \int (3x^{-3} - x^{-1} + x) dx = 3 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} - \ln|x| + \frac{x^2}{2}$$ Simplificando la expresión: $$F(x) = -\frac{3}{2x^2} - \ln|x| + \frac{x^2}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ para $n \neq -1$, y $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$.

Aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[1, 2]$: $$\int_{1}^{2} \frac{3 - x^2 + x^4}{x^3} dx = \left[ -\frac{3}{2x^2} - \ln|x| + \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2}$$ Sustituimos el límite superior ($x=2$): $$F(2) = -\frac{3}{2(2)^2} - \ln(2) + \frac{2^2}{2} = -\frac{3}{8} - \ln(2) + 2 = \frac{13}{8} - \ln(2)$$ Sustituimos el límite inferior ($x=1$): $$F(1) = -\frac{3}{2(1)^2} - \ln(1) + \frac{1^2}{2} = -\frac{3}{2} - 0 + \frac{1}{2} = -1$$ Calculamos la diferencia: $$\text{Integral} = F(2) - F(1) = \left( \frac{13}{8} - \ln(2) \right) - (-1) = \frac{13}{8} + 1 - \ln(2) = \frac{21}{8} - \ln(2)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{21}{8} - \ln(2) \approx 1.9318}$$