Estudio de asíntotas y recta tangente

**a) (1 punto) Hallar las asíntotas de su gráfica.** Primero, determinamos el dominio de la función $f(x) = \frac{x^3}{(x - 3)^2}$. Como es una función racional, el dominio son todos los reales excepto los valores que anulan el denominador: $$(x-3)^2 = 0 \implies x = 3$$ Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{3\}$. Las **asíntotas verticales** suelen encontrarse en los puntos de discontinuidad. Calculamos el límite cuando $x \to 3$: $$\lim_{x \to 3} \frac{x^3}{(x-3)^2} = \frac{3^3}{(3-3)^2} = \frac{27}{0^+} = +\infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical. 💡 **Tip:** Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, entonces $x = a$ es una asíntota vertical. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 3}$$

Para buscar **asíntotas horizontales**, calculamos el límite de la función cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{(x-3)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 - 6x + 9}$$ Como el grado del numerador ($3$) es mayor que el grado del denominador ($2$), el límite es infinito: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 - 6x + 9} = +\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x^2 - 6x + 9} = -\infty$$ 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, no hay AH pero sí habrá una asíntota oblicua. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{\text{No existen asíntotas horizontales}}$$

Buscamos una recta de la forma $y = mx + n$: 1. **Cálculo de la pendiente ($m$):** $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x(x-3)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^3 - 6x^2 + 9x} = 1$$ 2. **Cálculo de la ordenada en el origen ($n$):** $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{(x-3)^2} - x \right)$$ Operamos para resolver la indeterminación: $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x(x^2 - 6x + 9)}{(x-3)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x^3 + 6x^2 - 9x}{x^2 - 6x + 9} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x^2 - 9x}{x^2 - 6x + 9} = 6$$ La asíntota oblicua es $y = 1x + 6$. ✅ **Resultado (Asíntota Oblicua):** $$\boxed{y = x + 6}$$

**b) (1 punto) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ Calculamos primero el punto de tangencia hallando la imagen de $x = 2$: $$f(2) = \frac{2^3}{(2-3)^2} = \frac{8}{(-1)^2} = 8$$ El punto es **$(2, 8)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que la recta tangente siempre pasa por el punto $(a, f(a))$.

Para hallar la pendiente $m = f'(2)$, primero derivamos la función $f(x) = \frac{x^3}{(x-3)^2}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{3x^2 \cdot (x-3)^2 - x^3 \cdot 2(x-3)}{(x-3)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(x-3)$: $$f'(x) = \frac{3x^2(x-3) - 2x^3}{(x-3)^3} = \frac{3x^3 - 9x^2 - 2x^3}{(x-3)^3} = \frac{x^3 - 9x^2}{(x-3)^3}$$ Ahora evaluamos en $x = 2$: $$f'(2) = \frac{2^3 - 9(2^2)}{(2-3)^3} = \frac{8 - 36}{-1} = \frac{-28}{-1} = 28$$ La pendiente de la recta tangente es **$m = 28$**. 💡 **Tip:** Simplificar el factor común $(x-a)$ en las derivadas de funciones racionales con potencias en el denominador suele facilitar mucho los cálculos posteriores.

Sustituimos los valores obtenidos ($a=2, f(2)=8, f'(2)=28$) en la fórmula de la recta tangente: $$y - 8 = 28(x - 2)$$ Sustituimos y simplificamos para obtener la forma explícita: $$y - 8 = 28x - 56$$ $$y = 28x - 48$$ ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = 28x - 48}$$