Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetros

**a) (2 puntos) Discutirlo según los valores de $a$.** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} a & 7 & 5 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 7 & 5 & 0 \\ 1 & a & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus o desarrollando por una fila/columna: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 7 & 5 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = a \cdot a \cdot 1 + 7 \cdot 1 \cdot 0 + 5 \cdot 1 \cdot 1 - (0 \cdot a \cdot 5 + 1 \cdot 1 \cdot a + 1 \cdot 7 \cdot 1)$$ $$|A| = a^2 + 5 - (a + 7) = a^2 - a - 2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$a^2 - a - 2 = 0 \implies a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da los valores: **$a = 2$** y **$a = -1$**. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli nos permite determinar la compatibilidad comparando el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada.

Analizamos los rangos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 2$ y $a \neq -1$** Si $a$ no toma ninguno de estos valores, $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de $A$ es 3 y, al ser una matriz $3 \times 4$, el rango de $A^*$ también es 3. Como el rango coincide con el número de incógnitas: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = n^o \text{ incógnitas} \implies \text{SCD}$$ **Caso 2: $a = -1$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 7 & 5 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $\text{rango}(A) = 2$ porque $|A|=0$ y existe un menor de orden 2 no nulo como $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$. Comprobamos el rango de $A^*$ calculando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 7 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-1)(2 - 3) - 7(-2 - 0) = 1 + 14 = 15 \neq 0$$ Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**.

**Caso 3: $a = 2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 7 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $\text{rango}(A) = 2$. Veamos si el rango de $A^*$ es 2 o 3 calculando los posibles menores de orden 3 con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 7 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 2(-4 - 3) - 7(-2 - 0) = -14 + 14 = 0$$ $$\begin{vmatrix} 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 7(-2 - 3) - 5(-4 - 3) = -35 + 35 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos, $\text{rango}(A^*) = 2$. $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3 \implies \text{SCI}$$ ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 2, -1 \implies \text{SCD (Solución única)} \\ a = -1 \implies \text{SI (Sin solución)} \\ a = 2 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso $a = 4$.** Para $a = 4$ el sistema es SCD. Sustituimos $a$ y resolvemos por la regla de Cramer, sabiendo que $|A| = 4^2 - 4 - 2 = 10$: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 0 & 7 & 5 \\ 3 & 4 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix}}{10} = \frac{0 - 14 + 15 - (-40 + 0 + 21)}{10} = \frac{1 - (-19)}{10} = \frac{20}{10} = 2$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 4 & 0 & 5 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix}}{10} = \frac{4(3 + 2) + 5(-2 - 0)}{10} = \frac{20 - 10}{10} = 1$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 4 & 7 & 0 \\ 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix}}{10} = \frac{4(-8 - 3) - 7(-2 - 0)}{10} = \frac{-44 + 14}{10} = -3$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes comprobar la solución sustituyendo los valores obtenidos en las ecuaciones originales. ✅ **Resultado (a=4):** $$\boxed{x = 2, \ y = 1, \ z = -3}$$

**c) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso $a = 2$.** Para $a = 2$, el sistema es SCI. Usamos solo dos ecuaciones linealmente independientes (la 2ª y la 3ª, ya que vimos que el rango era 2): $$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ y + z = -2 \end{cases}$$ Tomamos $z = \lambda$ como parámetro $(\lambda \in \mathbb{R})$: 1. De la segunda ecuación: $y = -2 - \lambda$ 2. Sustituimos en la primera: $x + 2(-2 - \lambda) + \lambda = 3$ $x - 4 - 2\lambda + \lambda = 3 \implies x = 7 + \lambda$ 💡 **Tip:** En un SCI, el número de parámetros necesarios es $n - \text{rango}(A)$. En este caso $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado (a=2):** $$\boxed{\begin{cases} x = 7 + \lambda \\ y = -2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$