Posición relativa de rectas y perpendicular común

**a) (1 punto) Determinar la posición relativa de $r$ y $s$.** Primero, obtenemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $s$, que ya viene en paramétricas: - Punto $B(1, 0, 3)$ - Vector director $\vec{v} = (1, 1, 0)$ Para la recta $r$, pasamos de implícitas a paramétricas haciendo $z = \mu$: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = -1 + \mu \\ z = \mu \end{cases}$$ - Punto $A(1, -1, 0)$ - Vector director $\vec{u} = (1, 1, 1)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, puedes resolver el sistema de ecuaciones tratando una variable como parámetro (normalmente $z$).

Comprobamos si los vectores directores son paralelos: $$\vec{u} = (1, 1, 1), \quad \vec{v} = (1, 1, 0)$$ Como $\frac{1}{1} = \frac{1}{1} \neq \frac{1}{0}$, los vectores **no son paralelos**, por lo que las rectas se cortan o se cruzan. Calculamos el vector $\vec{AB} = B - A = (1-1, 0-(-1), 3-0) = (0, 1, 3)$. Estudiamos el determinante formado por los tres vectores: $$\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{AB}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\det = (1 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1) - (0 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1) = (3 + 0 + 1) - (0 + 0 + 3) = 4 - 3 = 1$$ Como el determinante es distinto de cero ($1 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio}}$$

**b) (1 punto) Determinar la ecuación de la recta que pasa por $P$ y corta a $r$ y $s$.** La recta buscada $t$ será la intersección de dos planos: 1. El plano $\pi_1$ que contiene a $P$ y a la recta $r$. 2. El plano $\pi_2$ que contiene a $P$ y a la recta $s$. Para $\pi_1$: Usamos el punto $P(-1, 0, 2)$, el vector $\vec{u}(1, 1, 1)$ y el vector $\vec{PA} = A - P = (1 - (-1), -1 - 0, 0 - 2) = (2, -1, -2)$. $$\begin{vmatrix} x+1 & y & z-2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 0 \implies -x + 4y - 3z + 5 = 0$$ Para $\pi_2$: Usamos el punto $P(-1, 0, 2)$, el vector $\vec{v}(1, 1, 0)$ y el vector $\vec{PB} = B - P = (1 - (-1), 0 - 0, 3 - 2) = (2, 0, 1)$. $$\begin{vmatrix} x+1 & y & z-2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \implies x - y - 2z + 5 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t \equiv \begin{cases} x - 4y + 3z - 5 = 0 \\ x - y - 2z + 5 = 0 \end{cases}}$$

**c) (1 punto) Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a $r$ y $s$.** El vector director $\vec{w}$ de la perpendicular común debe ser perpendicular a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$. Lo obtenemos mediante el producto vectorial: $$\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$\vec{w} = (0 - 1)\vec{i} - (0 - 1)\vec{j} + (1 - 1)\vec{k} = (-1, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** El vector director de la perpendicular común es siempre el producto vectorial de los vectores directores de las rectas dadas.

La recta perpendicular común $n$ es la intersección de dos planos: 1. Plano $\sigma_1$ que contiene a $r$ y tiene vector $\vec{w}$. 2. Plano $\sigma_2$ que contiene a $s$ y tiene vector $\vec{w}$. Para $\sigma_1$: Punto $A(1, -1, 0)$, vectores $\vec{u}(1, 1, 1)$ y $\vec{w}(-1, 1, 0)$. $$\begin{vmatrix} x-1 & y+1 & z \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies -(x-1) - (y+1) + 2z = 0 \implies x + y - 2z = 0$$ Para $\sigma_2$: Punto $B(1, 0, 3)$, vectores $\vec{v}(1, 1, 0)$ y $\vec{w}(-1, 1, 0)$. $$\begin{vmatrix} x-1 & y & z-3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \implies 2(z-3) = 0 \implies z = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \equiv \begin{cases} x + y - 2z = 0 \\ z = 3 \end{cases}}$$