Estudio completo de la función exponencial compuesta

**a) (1 punto) Calcular $\lim_{x\to+\infty} f(x)$, $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ y estudiar la existencia de $\lim_{x\to 0} f(x)$.** Empezamos calculando los límites cuando $x$ tiende a infinito. Para ello, recordamos que la función exponencial es continua, por lo que podemos introducir el límite en el exponente. Para $x \to +\infty$: $$\lim_{x\to+\infty} e^{1/x} = e^{\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}} = e^0 = 1$$ Para $x \to -\infty$: $$\lim_{x\to-\infty} e^{1/x} = e^{\lim_{x\to-\infty} \frac{1}{x}} = e^0 = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\lim_{x\to \pm \infty} \frac{k}{x} = 0$ para cualquier constante $k$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\lim_{x\to+\infty} f(x) = 1, \quad \lim_{x\to-\infty} f(x) = 1}$$

Para estudiar la existencia de $\lim_{x\to 0} f(x)$, debemos calcular los límites laterales, ya que el comportamiento de $\frac{1}{x}$ cambia de signo a izquierda y derecha del cero. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x\to 0^+} e^{1/x} = e^{\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}} = e^{+\infty} = +\infty$$ **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x\to 0^-} e^{1/x} = e^{\lim_{x\to 0^-} \frac{1}{x}} = e^{-\infty} = 0$$ Como los límites laterales son distintos (uno es infinito y el otro es finito), $$\lim_{x\to 0^+} f(x) \neq \lim_{x\to 0^-} f(x)$$ Concluimos que **no existe** el límite de la función en $x = 0$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\nexists \lim_{x\to 0} f(x) }$$

**b) (1 punto) Esbozar la gráfica $y = f(x)$ determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y sus asíntotas.** Basándonos en los cálculos del apartado anterior, podemos identificar las asíntotas de la función: 1. **Asíntotas Horizontales:** Como $\lim_{x\to \pm\infty} f(x) = 1$, la recta **$y = 1$** es una asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda. 2. **Asíntotas Verticales:** Como $\lim_{x\to 0^+} f(x) = +\infty$, la recta **$x = 0$** (el eje $Y$) es una asíntota vertical por la derecha. 3. **Asíntotas Oblicuas:** Al existir asíntotas horizontales en ambos sentidos, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Una función tiene una asíntota vertical en $x=a$ si al menos uno de los límites laterales es $\pm\infty$.

Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada de $f(x) = e^{1/x}$ utilizando la regla de la cadena: $$f'(x) = e^{1/x} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)' = e^{1/x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{e^{1/x}}{x^2}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en su dominio, que es $\mathbb{R} \setminus \{0\}$: - $e^{1/x} \gt 0$ para todo $x$ en el dominio. - $x^2 \gt 0$ para todo $x \neq 0$. - Por tanto, la expresión $-\frac{e^{1/x}}{x^2}$ es siempre **negativa**. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & \nexists & - \\ \hline \text{Monotonía} & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ La función es estrictamente decreciente en todo su dominio. ✅ **Resultado (monotonía):** $$\boxed{\text{Decreciente en: } (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)}$$

Combinando toda la información: - Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. - Asíntota horizontal $y=1$. - Asíntota vertical $x=0$ (por la derecha). - Siempre decreciente. - En $x \to 0^-$, la función tiende a $0$ (punto abierto). Aquí tienes la representación gráfica: "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = e^{1/x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "ah", "latex": "y=1", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "av", "latex": "x=0", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" } ], "bounds": { "left": -10, "right": 10, "bottom": -1, "top": 10 } } }