Recta tangente e integración de funciones racionales

**a) (1 punto) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x = 0$.** La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $f$ en un punto $x = a$ viene dada por la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En nuestro caso, el punto es $x = 0$, por lo que calculamos en primer lugar su imagen: $$f(0) = \frac{0}{0^2 + 1} = \frac{0}{1} = 0$$ Esto nos indica que el punto de tangencia es el origen de coordenadas: $(0, 0)$. 💡 **Tip:** Recuerda que $f(a)$ representa la ordenada del punto donde la recta toca a la curva.

Para hallar la pendiente de la recta tangente ($m = f'(0)$), derivamos la función $f(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$ Ahora, evaluamos la derivada en $x = 0$: $$f'(0) = \frac{1 - 0^2}{(0^2 + 1)^2} = \frac{1}{1} = 1$$ La pendiente de la recta tangente en $x = 0$ es $m = 1$. 💡 **Tip:** La derivada de un cociente es: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Sustituimos los valores obtenidos ($a = 0$, $f(0) = 0$ y $f'(0) = 1$) en la ecuación de la recta tangente: $$y - 0 = 1 \cdot (x - 0)$$ $$y = x$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = x}$$

**b) (1 punto) Calcular $\int_{0}^{1} x f(x) dx$.** Sustituimos la expresión de $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ en la integral: $$\int_{0}^{1} x \cdot \left(\frac{x}{x^2 + 1}\right) dx = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{x^2 + 1} dx$$ Observamos que el grado del numerador es igual al grado del denominador. En estos casos de funciones racionales, realizamos la división de polinomios o aplicamos un pequeño truco algebraico sumando y restando 1 en el numerador: $$\frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1 - 1}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1} = 1 - \frac{1}{x^2 + 1}$$ 💡 **Tip:** Cuando los grados son iguales, siempre busca transformar la fracción para obtener una parte entera y un resto más sencillo.

Ahora calculamos la integral indefinida (la primitiva) descomponiéndola en dos integrales inmediatas: $$\int \left( 1 - \frac{1}{x^2 + 1} \right) dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = x - \arctan(x) + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de $\frac{1}{x^2+1}$ es la función arco tangente: $\arctan(x)$.

Aplicamos la Regla de Barrow para evaluar la integral definida en el intervalo $[0, 1]$: $$\int_{0}^{1} \frac{x^2}{x^2 + 1} dx = \left[ x - \arctan(x) \right]_{0}^{1}$$ Calculamos los valores en los extremos: - Para $x = 1$: $1 - \arctan(1) = 1 - \frac{\pi}{4}$ - Para $x = 0$: $0 - \arctan(0) = 0 - 0 = 0$ Restamos los resultados: $$\left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) - (0) = 1 - \frac{\pi}{4}$$ ✅ **Resultado (integral):** $$\boxed{1 - \frac{\pi}{4}}$$