Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetro

**a) (2 puntos) Discutirlo según los valores del parámetro $\lambda$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & \lambda & \lambda \\ 1 & 1 & \lambda-1 \\ \lambda-1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & \lambda & \lambda & 1-\lambda \\ 1 & 1 & \lambda-1 & -2\lambda \\ \lambda-1 & 1 & 1 & \lambda-1 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, estudiaremos el rango de estas matrices utilizando el **Teorema de Rouché-Frobenius**. El primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ y encontrar los valores de $\lambda$ que lo anulan. 💡 **Tip:** Recuerda que si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es igual al número de incógnitas y el sistema es Compatible Determinado.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & \lambda & \lambda \\ 1 & 1 & \lambda-1 \\ \lambda-1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [2 \cdot 1 \cdot 1 + \lambda \cdot (\lambda-1) \cdot (\lambda-1) + 1 \cdot 1 \cdot \lambda] - [(\lambda-1) \cdot 1 \cdot \lambda + 1 \cdot \lambda \cdot 1 + (\lambda-1) \cdot 1 \cdot 2]$$ Desarrollamos cada parte: - Términos positivos: $2 + \lambda(\lambda^2 - 2\lambda + 1) + \lambda = 2 + \lambda^3 - 2\lambda^2 + \lambda + \lambda = \lambda^3 - 2\lambda^2 + 2\lambda + 2$ - Términos negativos: $[\lambda^2 - \lambda + \lambda + 2\lambda - 2] = [\lambda^2 + 2\lambda - 2]$ Restamos: $$|A| = (\lambda^3 - 2\lambda^2 + 2\lambda + 2) - (\lambda^2 + 2\lambda - 2) = \lambda^3 - 3\lambda^2 + 4$$ Buscamos las raíces de $|A| = 0$. Probamos por Ruffini con los divisores de 4 ($\pm 1, \pm 2, \pm 4$): Si $\lambda = -1 \implies (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$. Dividiendo $\lambda^3 - 3\lambda^2 + 4$ por $(\lambda+1)$ obtenemos $(\lambda-2)^2$. Por tanto: $$|A| = (\lambda + 1)(\lambda - 2)^2$$ Las raíces son **$\lambda = -1$** y **$\lambda = 2$** (doble).

Analizamos los casos posibles para el parámetro $\lambda$: **Caso 1: $\lambda \neq -1$ y $\lambda \neq 2$** Como el determinante $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es 3. Al ser la matriz ampliada $A^*$ de dimensión $3 \times 4$, su rango también debe ser 3. Como coinciden con el número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº incógnitas} \implies \text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}$$ **Caso 2: $\lambda = 2$** La matriz $A$ es: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Claramente, las filas son proporcionales ($F_1 = 2F_2 = 2F_3$), por lo que **$\text{rg}(A) = 1$**. Analizamos la matriz ampliada $A^*$ sustituyendo $\lambda=2$: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & -4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Tomamos un menor de orden 2 con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -8 + 1 = -7 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = 1 \neq \text{rg}(A^*) = 2$, el **Sistema es Incompatible (SI)**.

**Caso 3: $\lambda = -1$** Sustituimos $\lambda = -1$ en $A$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 + 1 = 3 \neq 0$, luego **$\text{rg}(A) = 2$**. Ahora analizamos $A^*$: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$$ Observamos que la fila 1 y la fila 3 son proporcionales ($F_3 = -F_1$). Por tanto, cualquier menor de orden 3 que incluya a ambas será cero. Al no haber más combinaciones, **$\text{rg}(A^*) = 2$**. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el **Sistema es Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado discusión:** $$\boxed{\begin{cases} \lambda \neq -1, 2: \text{SCD} \\ \lambda = -1: \text{SCI} \\ \lambda = 2: \text{SI} \end{cases}}$$

**b) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso $\lambda = 1$.** Si $\lambda = 1$, estamos ante un SCD. Sustituimos el valor en el sistema: $$\begin{cases} 2x + y + z = 0 \\ x + y + 0z = -2 \\ 0x + y + z = 0 \end{cases}$$ De la tercera ecuación: $y = -z$. Sustituimos $y$ en la segunda ecuación: $x + (-z) = -2 \implies x = z - 2$. Sustituimos $x$ e $y$ en la primera ecuación: $2(z - 2) + (-z) + z = 0 \implies 2z - 4 = 0 \implies z = 2$. Calculamos las demás incógnitas: - $y = -z = -2$ - $x = 2 - 2 = 0$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{x = 0, \ y = -2, \ z = 2}$$

**c) (0,5 puntos) Resolverlo en el caso $\lambda = -1$.** Si $\lambda = -1$, es un SCI. Como vimos en el apartado a), $F_3 = -F_1$, por lo que eliminamos la tercera ecuación y nos quedamos con las dos primeras, usando $z = \alpha$ como parámetro: $$\begin{cases} 2x - y - z = 2 \\ x + y - 2z = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x - y = 2 + \alpha \\ x + y = 2 + 2\alpha \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar $y$: $(2x - y) + (x + y) = (2 + \alpha) + (2 + 2\alpha) \implies 3x = 4 + 3\alpha \implies x = \frac{4}{3} + \alpha$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación para hallar $y$: $y = 2 + 2\alpha - x = 2 + 2\alpha - \left(\frac{4}{3} + \alpha\right) = \frac{6}{3} + 2\alpha - \frac{4}{3} - \alpha = \frac{2}{3} + \alpha$ 💡 **Tip:** En un sistema compatible indeterminado, siempre debes expresar la solución en función de tantos parámetros como indique el grado de libertad ($n - \text{rg}$). En este caso $3 - 2 = 1$. ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{4}{3} + \alpha, \ \frac{2}{3} + \alpha, \ \alpha \right) \text{ con } \alpha \in \mathbb{R}}$$