Esfera tangente a un plano y punto de tangencia

**a) (1 punto) Hallar el punto de tangencia $P'$.** Si la esfera $S$ es tangente al plano $\pi$ en el punto $P'$ y el segmento $PP'$ es un diámetro, entonces la recta que contiene a dicho diámetro debe ser perpendicular al plano $\pi$. Identificamos el vector normal del plano $\pi \equiv x + 2y - 2z + 2 = 0$: $$\vec{n_\pi} = (1, 2, -2)$$ La recta $r$ que pasa por $P$ y $P'$ tiene como vector director $\vec{v_r} = \vec{n_\pi}$ y pasa por el punto $P(1, 2, -1)$. Sus ecuaciones paramétricas son: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = -1 - 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, su vector director es proporcional al vector normal del plano $\vec{n} = (A, B, C)$.

El punto $P'$ es el punto de intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Para hallarlo, sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$(1 + \lambda) + 2(2 + 2\lambda) - 2(-1 - 2\lambda) + 2 = 0$$ Operamos para resolver $\lambda$: $$1 + \lambda + 4 + 4\lambda + 2 + 4\lambda + 2 = 0$$ $$9\lambda + 9 = 0 \implies 9\lambda = -9 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de la recta $r$ para obtener las coordenadas de $P'$: $$x = 1 + (-1) = 0$$ $$y = 2 + 2(-1) = 0$$ $$z = -1 - 2(-1) = 1$$ ✅ **Resultado (punto de tangencia):** $$\boxed{P'(0, 0, 1)}$$

**b) (1 punto) Hallar la ecuación de $S$.** Como el segmento $PP'$ es un diámetro de la esfera, el centro $C$ de la misma será el punto medio del segmento $PP'$. Dados $P(1, 2, -1)$ y $P'(0, 0, 1)$, aplicamos la fórmula del punto medio: $$C = \left( \frac{x_P + x_{P'}}{2}, \frac{y_P + y_{P'}}{2}, \frac{z_P + z_{P'}}{2} \right)$$ $$C = \left( \frac{1 + 0}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{-1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 1, 0 \right)$$ 💡 **Tip:** El centro de una esfera siempre es el punto medio de cualquiera de sus diámetros. $$\boxed{C\left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)}$$

El radio $R$ es la mitad de la longitud del diámetro $PP'$. Calculamos primero la distancia entre $P$ y $P'$: $$d(P, P') = \sqrt{(0 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2}$$ $$d(P, P') = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$ Por tanto, el radio es $R = \frac{3}{2}$. La ecuación general de una esfera con centro $C(x_0, y_0, z_0)$ y radio $R$ es: $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$$ Sustituyendo nuestros datos: $$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2$$ $$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = \frac{9}{4}$$ Si desarrollamos los cuadrados (opcional): $$x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - 2y + 1 + z^2 = \frac{9}{4}$$ $$x^2 + y^2 + z^2 - x - 2y - 1 = 0$$ ✅ **Resultado (ecuación de la esfera):** $$\boxed{\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = \dfrac{9}{4}}$$