Cuadrilátero en el espacio: Trapecio y Área

**a) (1 punto) Probar que el cuadrilátero $ABCD$ es un trapecio (tiene dos lados paralelos) y hallar la distancia entre los dos lados paralelos.** Un cuadrilátero es un trapecio si tiene al menos un par de lados paralelos. Para comprobarlo, calculamos los vectores que forman los lados y verificamos si son proporcionales. Calculamos los vectores de los lados opuestos: $$\vec{AB} = B - A = (0 - 2, 1 - (-2), -2 - 1) = (-2, 3, -3)$$ $$\vec{CD} = D - C = (2 - (-2), -6 - 0, 2 - (-4)) = (4, -6, 6)$$ Observamos la relación entre ambos vectores: $$\vec{CD} = (4, -6, 6) = -2 \cdot (-2, 3, -3) = -2 \cdot \vec{AB}$$ Como los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{CD}$ son proporcionales, sus direcciones son paralelas. Por tanto, los lados $AB$ y $CD$ son paralelos. 💡 **Tip:** Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son paralelos si existe un número $k$ tal que $\vec{u} = k\vec{v}$, lo que implica que sus componentes son proporcionales: $\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_3}{v_3}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El cuadrilátero } ABCD \text{ es un trapecio porque } AB \parallel CD}$$

La distancia entre los lados paralelos es la distancia entre las rectas que los contienen. Como $AB \parallel CD$, esta distancia es igual a la distancia de un punto de la recta $AB$ (por ejemplo, el punto $A$) a la recta que pasa por $C$ y $D$. Sea $r$ la recta que pasa por $C$ y $D$. Su punto de referencia es $C(-2, 0, -4)$ y su vector director es $\vec{v} = \vec{CD} = (4, -6, 6)$. Para simplificar cálculos, podemos usar $\vec{u} = (2, -3, 3)$. La fórmula de la distancia de un punto $A$ a una recta $r$ es: $$d(A, r) = \frac{|\vec{u} \times \vec{CA}|}{|\vec{u}|}$$ Primero, calculamos el vector $\vec{CA}$: $$\vec{CA} = A - C = (2 - (-2), -2 - 0, 1 - (-4)) = (4, -2, 5)$$ Ahora calculamos el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{CA}$ mediante el determinante: $$\vec{u} \times \vec{CA} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -3 & 3 \\ 4 & -2 & 5 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{u} \times \vec{CA} = \vec{i}(-3 \cdot 5) + \vec{j}(3 \cdot 4) + \vec{k}(2 \cdot (-2)) - [\vec{k}(-3 \cdot 4) + \vec{i}(3 \cdot (-2)) + \vec{j}(2 \cdot 5)]$$ $$\vec{u} \times \vec{CA} = (-15\vec{i} + 12\vec{j} - 4\vec{k}) - (-12\vec{k} - 6\vec{i} + 10\vec{j}) = (-9, 2, 8)$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{u} \times \vec{CA}| = \sqrt{(-9)^2 + 2^2 + 8^2} = \sqrt{81 + 4 + 64} = \sqrt{149}$$ $$|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9 + 9} = \sqrt{22}$$ La distancia es: $$d = \frac{\sqrt{149}}{\sqrt{22}} = \sqrt{\frac{149}{22}} \approx 2.60 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d = \sqrt{\frac{149}{22}} \text{ u}}$$

**b) (1 punto) Hallar el área del triángulo $ABC$.** El área de un triángulo definido por tres puntos $A, B$ y $C$ en el espacio se calcula mediante la mitad del módulo del producto vectorial de dos de los vectores que forman sus lados. $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} imes \vec{AC}|$$ Ya tenemos $\vec{AB} = (-2, 3, -3)$. Calculamos $\vec{AC}$: $$\vec{AC} = C - A = (-2 - 2, 0 - (-2), -4 - 1) = (-4, 2, -5)$$ Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 3 & -3 \\ -4 & 2 & -5 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\text{Det} = \vec{i}(3 \cdot (-5)) + \vec{j}(-3 \cdot (-4)) + \vec{k}(-2 \cdot 2) - [\vec{k}(3 \cdot (-4)) + \vec{i}(-3 \cdot 2) + \vec{j}(-2 \cdot (-5))]$$ $$\text{Det} = (-15\vec{i} + 12\vec{j} - 4\vec{k}) - (-12\vec{k} - 6\vec{i} + 10\vec{j}) = (-9, 2, 8)$$ Calculamos el módulo: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-9)^2 + 2^2 + 8^2} = \sqrt{81 + 4 + 64} = \sqrt{149}$$ Finalmente, el área es: $$\text{Área} = \frac{\sqrt{149}}{2} \approx 6.10 \text{ unidades cuadradas}$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial $|\vec{u} \times \vec{v}|$ representa el área del paralelogramo formado por los vectores. El área del triángulo es exactamente la mitad. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{149}}{2} \text{ u}^2}$$