Discusión de rango y resolución de sistemas homogéneos

**a) (1,5 puntos) Calcular el determinante de $A$. Determinar el rango de $A$ según los valores de $a$.** Para calcular el determinante de $A$, aplicaremos propiedades de los determinantes para hacer ceros y simplificar el cálculo: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a & a \\ a & 1 & 1 & a \\ a & a & 1 & 1 \\ a & a & a & 1 \end{vmatrix}$$ Realizamos la operación $F_4 \to F_4 - F_3$ para obtener ceros en la última fila: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a & a \\ a & 1 & 1 & a \\ a & a & 1 & 1 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la cuarta fila. El elemento $a_{43} = a-1$ tiene un signo $(-1)^{4+3} = -1$: $$|A| = -(a-1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante $3 \times 3$ aplicando la regla de Sarrus o haciendo ceros. Aplicamos $C_1 \to C_1 - C_2$: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 & a \\ a-1 & 1 & a \\ 0 & a & 1 \end{vmatrix} = -(a-1) \begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 1 \end{vmatrix} = -(a-1)(1 - a^2)$$ Sustituimos de nuevo en la expresión de $|A|$: $$|A| = -(a-1) \cdot [-(a-1)(1 - a^2)] = (a-1)^2 (1 - a^2)$$ Sabiendo que $1-a^2 = (1-a)(1+a)$ y $(a-1)^2 = (1-a)^2$: $$|A| = (1-a)^2 (1-a)(1+a) = (1-a)^3(1+a)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una fila es combinación lineal de otras, el determinante es cero. Aquí vemos que si $a=1$ todas las filas son iguales, y si $a=-1$, $F_1 + F_3 = (0,0,0,0)$. ✅ **Resultado determinante:** $$\boxed{|A| = (1-a)^3(1+a)}$$

Para determinar el rango, analizamos los valores de $a$ que anulan el determinante: $(1-a)^3(1+a) = 0 \implies a = 1, a = -1$. **Caso 1: $a \neq 1$ y $a \neq -1$** Como $|A| \neq 0$, el determinante es de orden 4 y no nulo. Por tanto, el rango es máximo: $$\mathbf{\text{rg}(A) = 4}$$ **Caso 2: $a = 1$** La matriz resulta: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Todas las filas son idénticas. Existe un menor de orden 1 no nulo (por ejemplo, $|1| = 1$), pero todos los de orden 2 son cero. $$\mathbf{\text{rg}(A) = 1}$$ **Caso 3: $a = -1$** La matriz resulta: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, luego $\text{rg}(A) < 4$. Buscamos un menor de orden 3 no nulo. Tomamos las columnas 1, 2 y 3 y las filas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1)[(1+1-1) - (-1-1+1)] = -[1 - (-1)] = -2 \neq 0$$ $$\mathbf{\text{rg}(A) = 3}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que si el determinante de una matriz cuadrada es distinto de cero, su rango es igual a su orden.

**b) (0,5 puntos) Resolver el sistema homogéneo $AX = O$ en el caso $a = 1$.** Como hemos visto, si $a=1$, $\text{rg}(A) = 1$. El sistema $AX=O$ se reduce a una única ecuación independiente: $$x + y + z + w = 0$$ Al tener 4 incógnitas y una sola ecuación, el sistema es compatible indeterminado con $4 - 1 = 3$ grados de libertad (parámetros). Definimos: $$y = \lambda, \quad z = \mu, \quad w = \rho$$ Sustituyendo en la ecuación: $$x = -\lambda - \mu - \rho$$ ✅ **Resultado del sistema ($a=1$):** $$\boxed{\begin{cases} x = -\lambda - \mu - \rho \\ y = \lambda \\ z = \mu \\ w = \rho \end{cases} \text{ con } \lambda, \mu, \rho \in \mathbb{R}}$$

**c) (1 punto) Resolver el sistema homogéneo $AX = O$ cuando $a = -1$.** Si $a=-1$, $\text{rg}(A) = 3$. El sistema tiene $4 - 3 = 1$ grado de libertad. Las ecuaciones son: $$\begin{cases} x + y - z - w = 0 \\ -x + y + z - w = 0 \\ -x - y + z + w = 0 \\ -x - y - z + w = 0 \end{cases}$$ Observamos que la primera y la tercera son proporcionales ($F_3 = -F_1$), por lo que eliminamos $F_3$. El sistema es: $$\begin{cases} (1) \quad x + y - z - w = 0 \\ (2) \quad -x + y + z - w = 0 \\ (3) \quad -x - y - z + w = 0 \end{cases}$$ Sumamos (1) y (3): $$(x-x) + (y-y) + (-z-z) + (-w+w) = 0 \implies -2z = 0 \implies z = 0$$ Sustituimos $z=0$ en (1) y (2): $$\begin{cases} x + y - w = 0 \\ -x + y - w = 0 \end{cases}$$ Restando estas dos ecuaciones: $2x = 0 \implies x = 0$. Sustituyendo $x=0$ y $z=0$ en cualquiera de ellas: $y - w = 0 \implies y = w$. Tomamos $w = \lambda$ como parámetro. ✅ **Resultado del sistema ($a=-1$):** $$\boxed{\begin{cases} x = 0 \\ y = \lambda \\ z = 0 \\ w = \lambda \end{cases} \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$