Asíntotas, monotonía y curvatura de una función racional

**a) (0,75 puntos) Hallar las asíntotas de su gráfica.** Primero, determinamos el dominio de la función identificando los valores que anulan los denominadores: - $x - 4 = 0 \implies x = 4$ - $2x + 2 = 0 \implies x = -1$ El dominio es $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 4\}$. Las asíntotas verticales (AV) suelen encontrarse en estos puntos. Para **$x = -1$**: $$\lim_{x \to -1} \left( \frac{4}{x - 4} + \frac{27}{2x + 2} \right) = \frac{4}{-5} + \frac{27}{0} = \infty$$ Para **$x = 4$**: $$\lim_{x \to 4} \left( \frac{4}{x - 4} + \frac{27}{2x + 2} \right) = \frac{4}{0} + \frac{27}{10} = \infty$$ 💡 **Tip:** Si el límite de la función en un punto del dominio tiende a infinito, existe una asíntota vertical en dicho punto. ✅ **Resultado (Asíntotas Verticales):** $$\boxed{x = -1, \quad x = 4}$$

Buscamos las asíntotas horizontales (AH) calculando el límite cuando $x \to \pm \infty$: $$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{4}{x - 4} + \frac{27}{2x + 2} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x - 4} + \lim_{x \to \infty} \frac{27}{2x + 2} = 0 + 0 = 0$$ Al ser el límite un valor finito, existe una asíntota horizontal. Como existe asíntota horizontal, **no existen asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$, entonces $y = L$ es la AH. Si hay AH, automáticamente descartamos la oblicua en esa rama. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{y = 0}$$

**b) (1,75 puntos) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión.** Para la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(x)$. Reexpresamos la función para derivar más fácil: $$f(x) = 4(x - 4)^{-1} + \frac{27}{2}(x + 1)^{-1}$$ $$f'(x) = -4(x - 4)^{-2} - \frac{27}{2}(x + 1)^{-2} = -\frac{4}{(x - 4)^2} - \frac{27}{2(x + 1)^2}$$ Observamos que $(x-4)^2 \gt 0$ y $2(x+1)^2 \gt 0$ para todo $x$ en el dominio. Como ambos términos de la suma son negativos, **$f'(x) \lt 0$ para todo $x \in D$**. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc|c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 4) & 4 & (4, +\infty) \\\hline f'(x) & - & \nexists & - & \nexists & - \\\hline f(x) & \searrow & \nexists & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ La función es decreciente en todo su dominio. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Decreciente en } (-\infty, -1) \cup (-1, 4) \cup (4, +\infty)}$$

Para los puntos de inflexión y la curvatura, calculamos $f''(x)$: $$f''(x) = (-4) \cdot (-2)(x - 4)^{-3} - \frac{27}{2} \cdot (-2)(x + 1)^{-3} = \frac{8}{(x - 4)^3} + \frac{27}{(x + 1)^3}$$ Igualamos a cero para buscar candidatos a puntos de inflexión: $$\frac{8}{(x - 4)^3} + \frac{27}{(x + 1)^3} = 0 \implies \frac{8}{(x - 4)^3} = -\frac{27}{(x + 1)^3}$$ $$\frac{(x + 1)^3}{(x - 4)^3} = -\frac{27}{8} \implies \left(\frac{x + 1}{x - 4}\right)^3 = \left(-\frac{3}{2}\right)^3$$ Extrayendo la raíz cúbica: $$\frac{x + 1}{x - 4} = -\frac{3}{2} \implies 2x + 2 = -3x + 12 \implies 5x = 10 \implies x = 2$$ Calculamos la ordenada: $f(2) = \frac{4}{2-4} + \frac{27}{2(2)+2} = -2 + \frac{27}{6} = -2 + 4.5 = 2.5$. **Tabla de curvatura (signo de $f''(x)$):** $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 2) & 2 & (2, 4) & 4 & (4, +\infty) \\\hline f''(x) & - & \nexists & + & 0 & - & \nexists & + \\\hline \text{Curv.} & \cap & \nexists & \cup & \text{P.I.} & \cap & \nexists & \cup \end{array}$$ Al haber cambio de signo en $x=2$ y estar la función definida allí, es un punto de inflexión. ✅ **Resultado (Punto de Inflexión):** $$\boxed{P.I.(2, 2.5)}$$

**c) (0,5 puntos) Esbozar la gráfica de la función.** Utilizamos la información obtenida: 1. Asíntotas verticales en $x = -1$ y $x = 4$. 2. Asíntota horizontal en $y = 0$. 3. La función es siempre decreciente. 4. El punto de inflexión está en $(2, 2.5)$. A continuación se presenta la representación gráfica: