Cálculo de un límite mediante la regla de L'Hôpital

Para resolver el límite, en primer lugar evaluamos la función en el punto $x = 0$ sustituyendo el valor de la variable: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{\text{tag}(3x)} = \frac{\ln(1+2\cdot 0)}{\text{tag}(3\cdot 0)} = \frac{\ln(1)}{\text{tag}(0)} = \frac{0}{0}$$ Al obtener el resultado **$\frac{0}{0}$**, nos encontramos ante una **indeterminación**. Para resolverla, aplicaremos la Regla de L'Hôpital. 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital nos permite resolver indeterminaciones del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ derivando el numerador y el denominador de forma independiente.

La regla de L'Hôpital establece que, bajo ciertas condiciones de derivabilidad: $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ Calculamos las derivadas del numerador y del denominador por separado: 1. **Derivada del numerador:** Para $f(x) = \ln(1+2x)$, aplicamos la regla de la cadena para el logaritmo $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$: $$f'(x) = \frac{(1+2x)'}{1+2x} = \frac{2}{1+2x}$$ 2. **Derivada del denominador:** Para $g(x) = \text{tag}(3x)$, aplicamos la regla de la cadena para la tangente $(\text{tag}(u))' = u' \cdot (1+\text{tag}^2(u))$ o $u' \cdot \sec^2(u)$: $$g'(x) = \frac{3}{\cos^2(3x)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de la función logaritmo neperiano es $\frac{1}{x}$ y si hay una función interna, se multiplica por su derivada (regla de la cadena).

Sustituimos las derivadas obtenidas en el límite original: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{\text{tag}(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1+2x}}{\frac{3}{\cos^2(3x)}}$$ Ahora, volvemos a evaluar el límite sustituyendo $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1+2x}}{\frac{3}{\cos^2(3x)}} = \frac{\frac{2}{1+2\cdot 0}}{\frac{3}{\cos^2(3\cdot 0)}} = \frac{\frac{2}{1}}{\frac{3}{\cos^2(0)}} = \frac{2}{\frac{3}{1^2}} = \frac{2}{3}$$ Por tanto, el valor del límite es **$\frac{2}{3}$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\frac{2}{3}}$$