Intersección y área entre una curva cúbica y una parábola

**a) Encuentre sus puntos de intersección. (0,5 puntos)** Para hallar los puntos de intersección de las dos curvas, igualamos sus expresiones $f(x) = g(x)$: $$x^3 - 3x - 2 = x^2 - x - 2$$ Pasamos todos los términos a un miembro para obtener una ecuación polinómica: $$x^3 - x^2 - 3x + x - 2 + 2 = 0$$ $$x^3 - x^2 - 2x = 0$$ Factorizamos la ecuación extrayendo factor común $x$: $$x(x^2 - x - 2) = 0$$ Esto nos da una primera solución $x_1 = 0$. Para las otras dos, resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 - x - 2 = 0$: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos $x_2 = 2$ y $x_3 = -1$. Las abscisas de los puntos son $x = -1, 0, 2$. Calculamos sus ordenadas sustituyendo en cualquiera de las funciones (usaremos $g(x)$ por ser más sencilla): - Si $x = -1 \implies g(-1) = (-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 \implies P_1(-1, 0)$ - Si $x = 0 \implies g(0) = 0^2 - 0 - 2 = -2 \implies P_2(0, -2)$ - Si $x = 2 \implies g(2) = 2^2 - 2 - 2 = 0 \implies P_3(2, 0)$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte entre dos funciones son las soluciones del sistema formado por ambas ecuaciones. Es fundamental comprobar todas las raíces reales del polinomio resultante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P_1(-1, 0), \quad P_2(0, -2), \quad P_3(2, 0)}$$

**b) Represente el recinto limitado que encierran entre ellas. (1 punto)** Para representar el recinto, analizamos el comportamiento de ambas funciones entre los puntos de corte hallados: 1. **$g(x) = x^2 - x - 2$**: Es una parábola convexa (forma de $\cup$) con puntos de corte con el eje OX en $x = -1$ y $x = 2$, y vértice en $x = 1/2$. 2. **$f(x) = x^3 - 3x - 2$**: Es una función cúbica. Observamos que en $x = -1$ tiene una raíz doble (ya que $f(-1)=0$ y $f'(-1)=0$), lo que indica que es tangente al eje OX en ese punto. Determinamos qué función está por encima de la otra en los intervalos definidos por los puntos de corte: - En el intervalo $(-1, 0)$, tomamos $x = -0,5$: $f(-0,5) = -0,125 + 1,5 - 2 = -0,625$ $g(-0,5) = 0,25 + 0,5 - 2 = -1,25$ Como $f(-0,5) \gt g(-0,5)$, la curva **$f$ está por encima de $g$**. - En el intervalo $(0, 2)$, tomamos $x = 1$: $f(1) = 1 - 3 - 2 = -4$ $g(1) = 1 - 1 - 2 = -2$ Como $g(1) \gt f(1)$, la curva **$g$ está por encima de $f$**. El recinto queda dividido en dos regiones cerradas entre las abscisas $x = -1$, $x = 0$ y $x = 2$.

**c) Encuentre el área del recinto limitado por las dos curvas. (1 punto)** El área total es la suma de las áreas de las dos regiones calculadas mediante integrales definidas. Definimos la función diferencia $h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - x^2 - 2x$. $$Area = \int_{-1}^{0} [f(x) - g(x)] \, dx + \int_{0}^{2} [g(x) - f(x)] \, dx$$ **Región 1 ($x \in [-1, 0]$):** $$A_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 - x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^{0}$$ $$A_1 = (0) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 \right) = - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 \right) = - \left( \frac{3 + 4 - 12}{12} \right) = \frac{5}{12}$$ **Región 2 ($x \in [0, 2]$):** $$A_2 = \int_{0}^{2} (x^2 + x - x^3 + 2x) \, dx = \int_{0}^{2} (-x^3 + x^2 + 2x) \, dx$$ $$A_2 = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{0}^{2} = \left( -\frac{16}{4} + \frac{8}{3} + 4 \right) - (0) = -4 + \frac{8}{3} + 4 = \frac{8}{3}$$ **Área total:** $$A_{Total} = A_1 + A_2 = \frac{5}{12} + \frac{8}{3} = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12} \, u^2$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser positiva. Si al calcular la integral de $f-g$ obtienes un valor negativo, significa que en ese intervalo $g$ está por encima de $f$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{37}{12} \approx 3,083 \, u^2}$$