Posición relativa, perpendicularidad y distancia en el espacio

**a) Halle la posición relativa de la recta y el plano. (1 punto)** Primero, extraemos el vector normal del plano $\pi: x + y - z = 0$: $$\vec{n_\pi} = (1, 1, -1)$$ Para la recta $r$, obtenemos un punto $P_r$ y su vector director $\vec{v_r}$. La recta viene dada por la intersección de dos planos: 1. $x = 0$ (vector normal $\vec{n_1} = (1, 0, 0)$) 2. $y - z = 0$ (vector normal $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$) El vector director $\vec{v_r}$ es el producto vectorial de ambos vectores normales: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v_r} = \vec{i}(0 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$$ $$\vec{v_r} = 0\vec{i} + 1\vec{j} + 1\vec{k} = (0, 1, 1)$$ Un punto de la recta $P_r$ se obtiene asignando un valor a una variable. Si $z=0$, entonces $y=0$ y $x=0$. Por tanto, $P_r(0, 0, 0)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos es siempre el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos.

Para hallar la posición relativa, estudiamos la incidencia del vector director de la recta con el normal del plano mediante el producto escalar: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (0, 1, 1) \cdot (1, 1, -1) = 0\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot(-1) = 1 - 1 = 0$$ Como el producto escalar es $0$, el vector director de la recta es perpendicular al normal del plano. Esto implica que la recta es **paralela al plano** o está **contenida en él**. Comprobamos si el punto $P_r(0, 0, 0)$ pertenece al plano $\pi$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación $x + y - z = 0$: $$0 + 0 - 0 = 0$$ El punto satisface la ecuación del plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ está contenida en el plano } \pi}$$

**b) Encuentre una recta perpendicular a ambos. (1 punto)** Buscamos una recta $s$ que sea perpendicular al plano $\pi$ y a la recta $r$. 1. Para que una recta sea perpendicular a un plano, su vector director $\vec{v_s}$ debe ser paralelo al vector normal del plano: $$\vec{v_s} = \vec{n_\pi} = (1, 1, -1)$$ 2. Debemos verificar si este vector es también perpendicular a la recta $r$. Para ello, comprobamos si $\vec{v_s} \cdot \vec{v_r} = 0$: $$(1, 1, -1) \cdot (0, 1, 1) = 1\cdot 0 + 1\cdot 1 + (-1)\cdot 1 = 1 - 1 = 0$$ Efectivamente, cualquier recta con dirección $(1, 1, -1)$ es perpendicular a $r$ (ya que $r$ está en el plano y la dirección elegida es la normal del plano). Podemos elegir cualquier punto del espacio para definir la recta $s$. Usaremos el punto $P_r(0, 0, 0)$ que pertenece a la recta $r$ y al plano $\pi$ para que la perpendicular los corte en ese punto: $$s: \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda \\ z = -\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Si una recta está contenida en un plano, cualquier recta perpendicular al plano es automáticamente perpendicular a dicha recta. ✅ **Resultado (una posible recta):** $$\boxed{s: (x, y, z) = \lambda(1, 1, -1)}$$

**c) Busque la mínima distancia entre la recta y el plano dados. (0,5 puntos)** En el apartado (a) hemos demostrado que la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$. Por definición, si una recta está contenida en un plano, todos sus puntos pertenecen al plano. Por lo tanto, la distancia de cualquier punto de la recta al plano es cero. $$d(r, \pi) = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = 0\text{ u}}$$