Invertibilidad y cálculo de matriz inversa

**a) Obtenga los valores del número real $a$ para los que la matriz $A$ tiene inversa. (1,25 puntos)** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto, el primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ en función del parámetro $a$. $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1-a & 1 & 2 \\ a & a^2 & -1 \end{vmatrix}$$ 💡 **Recuerda:** Una matriz es regular (tiene inversa) si su determinante es no nulo. Si el determinante es cero, la matriz es singular.

Aplicamos la regla de Sarrus para desarrollar el determinante de la matriz de orden 3x3: $$|A| = [1 \cdot 1 \cdot (-1) + a \cdot 2 \cdot a + 1 \cdot (1-a) \cdot a^2] - [a \cdot 1 \cdot 1 + a^2 \cdot 2 \cdot 1 + (-1) \cdot (1-a) \cdot a]$$ Operamos cada término: - Productos de la diagonal principal y sus paralelas: $$1 \cdot 1 \cdot (-1) = -1$$ $$a \cdot 2 \cdot a = 2a^2$$ $$1 \cdot (1-a) \cdot a^2 = a^2 - a^3$$ - Productos de la diagonal secundaria y sus paralelas: $$a \cdot 1 \cdot 1 = a$$ $$a^2 \cdot 2 \cdot 1 = 2a^2$$ $$(-1) \cdot (1-a) \cdot a = (-1) \cdot (a - a^2) = -a + a^2$$ Sumamos los términos: $$|A| = (-1 + 2a^2 + a^2 - a^3) - (a + 2a^2 - a + a^2)$$ $$|A| = (-a^3 + 3a^2 - 1) - (3a^2)$$ $$|A| = -a^3 - 1$$ $$\boxed{|A| = -a^3 - 1}$$

Para que la matriz tenga inversa, el determinante debe ser distinto de cero: $$-a^3 - 1 \neq 0 \implies a^3 \neq -1$$ Resolvemos la ecuación para encontrar los valores críticos: $$a = \sqrt[3]{-1} = -1$$ Por tanto, la matriz $A$ tiene inversa para cualquier valor de $a$ excepto para $a = -1$. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \text{ para todo } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}}$$

**b) Busque, si es posible, la matriz inversa de $A$ cuando $a=0$. (1,25 puntos)** Primero comprobamos si existe inversa para $a=0$. Como $0 \neq -1$, el determinante será no nulo y la inversa existe. Sustituimos $a=0$ en la matriz $A$ y calculamos su determinante: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ $$|A| = -0^3 - 1 = -1$$ La fórmula para la matriz inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$$ 💡 **Tip:** El proceso consiste en hallar la matriz de adjuntos, trasponerla y dividir cada elemento por el determinante.

Calculamos los adjuntos de cada elemento $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$: $$A_{11} = + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \quad A_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1 \quad A_{13} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ $$A_{21} = - \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 0 \quad A_{22} = + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \quad A_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ $$A_{31} = + \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \quad A_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(2-1) = -1 \quad A_{33} = + \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$$ La matriz de adjuntos es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Trasponemos la matriz de adjuntos: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por $|A| = -1$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$