Estudio completo de una función racional

**a) Halle las asíntotas de la función $f$. (1 punto)** Primero, determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los reales excepto los valores que anulan el denominador: $$x + 1 = 0 \implies x = -1.$$ Por tanto, $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Para comprobar si hay una **asíntota vertical** en $x = -1$, calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2}{x + 1} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^2}{x + 1} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ Al ser los límites infinitos, existe una asíntota vertical. 💡 **Tip:** Recuerda que si existe un valor $a$ tal que $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, entonces $x = a$ es una asíntota vertical. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Asíntota Vertical: } x = -1}$$

Buscamos **asíntotas horizontales** calculando el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x + 1} = \pm\infty.$$ Como el límite es infinito (el grado del numerador es mayor que el del denominador), **no hay asíntotas horizontales**. Al no haber horizontales y ser el grado del numerador exactamente una unidad mayor que el del denominador, buscamos una **asíntota oblicua** de la forma $y = mx + n$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x + 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 + x} = 1.$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{x + 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{x + 1} = -1.$$ La asíntota oblicua es $y = x - 1$. 💡 **Tip:** También puedes obtener la asíntota oblicua realizando la división polinómica de $x^2$ entre $x+1$. El cociente será la ecuación de la recta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Asíntota Oblicua: } y = x - 1}$$

**b) Halle los máximos y mínimos de la función $f$. (1 punto)** Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x^2)'(x + 1) - x^2(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{2x(x + 1) - x^2(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}.$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$\frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} = 0 \implies x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0.$$ Obtenemos dos soluciones: **$x = 0$** y **$x = -2$**. 💡 **Tip:** Recuerda la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Para clasificar los puntos críticos y estudiar la monotonía, analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto de discontinuidad ($x = -1$). Notamos que el denominador $(x + 1)^2$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $x^2 + 2x$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,+\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de los puntos: - Para $x = -2$: $f(-2) = \frac{(-2)^2}{-2 + 1} = \frac{4}{-1} = -4$. - Para $x = 0$: $f(0) = \frac{0^2}{0 + 1} = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-2, -4) \text{ y Mínimo relativo en } (0, 0)}$$

**c) Represente gráficamente la función $f$. (0,5 puntos)** Utilizando la información obtenida: 1. **Asíntota vertical** en $x = -1$. 2. **Asíntota oblicua** $y = x - 1$. 3. **Máximo relativo** en $(-2, -4)$. 4. **Mínimo relativo** en $(0, 0)$, que además es el punto de corte con los ejes. Representamos la función teniendo en cuenta el crecimiento y decrecimiento.