Cálculo de un parámetro en una integral definida

**Dada la función $f(x) = (x-a)\cos(x)$, busque el valor del número real $a$ sabiendo que $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx = \frac{\pi}{2} - 2$. (2,5 puntos)** En primer lugar, calculamos la integral indefinida $\int (x-a)\cos(x) \, dx$ utilizando el método de **integración por partes**. Elegimos las partes de la siguiente forma: - $u = x - a \implies du = dx$ - $dv = \cos(x) \, dx \implies v = \sin(x)$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int (x-a)\cos(x) \, dx = (x-a)\sin(x) - \int \sin(x) \, dx$$ Como la integral del seno es el menos coseno ($-\cos(x)$), tenemos: $$\int (x-a)\cos(x) \, dx = (x-a)\sin(x) - (-\cos(x)) = (x-a)\sin(x) + \cos(x) + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica "ALPES" para elegir $u$: Arcos, Logaritmos, Polinomios (como $x-a$), Exponenciales y Senos/Cosenos. La integral de $\cos(x)$ es $\sin(x)$, pero la de $\sin(x)$ es $-\cos(x)$.

Ahora evaluamos la integral definida en el intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ utilizando la **Regla de Barrow**: $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (x-a)\cos(x) \, dx = \left[ (x-a)\sin(x) + \cos(x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$$ Sustituimos los límites de integración: - Para $x = \frac{\pi}{2}$: $$\left(\frac{\pi}{2} - a\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2} - a\right)(1) + 0 = \frac{\pi}{2} - a$$ - Para $x = 0$: $$(0 - a)\sin(0) + \cos(0) = (-a)(0) + 1 = 1$$ Restamos ambos resultados: $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx = \left(\frac{\pi}{2} - a\right) - 1 = \frac{\pi}{2} - a - 1$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$.

Igualamos el resultado obtenido al valor proporcionado en el enunciado: $$\frac{\pi}{2} - a - 1 = \frac{\pi}{2} - 2$$ Simplificamos la ecuación restando $\frac{\pi}{2}$ en ambos miembros: $$-a - 1 = -2$$ Despejamos $a$: $$-a = -2 + 1$$ $$-a = -1 \implies a = 1$$ Por tanto, el valor buscado del número real $a$ es **1**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1}$$ Podemos visualizar la función $f(x) = (x-1)\cos(x)$ y el área que representa dicha integral en el siguiente gráfico: