Planos que forman un triángulo de área dada

El enunciado nos indica que el punto $C$ se encuentra sobre el eje $OX$. Cualquier punto situado en el eje de abscisas tiene sus coordenadas de la forma $(x, 0, 0)$. Por tanto, definimos el punto: $$C(c, 0, 0)$$ donde $c$ es una incógnita que debemos determinar a partir del área del triángulo. Contamos con los puntos: - $A(0, 2, 0)$ - $B(0, 0, 2)$ - $C(c, 0, 0)$

Para calcular el área del triángulo $ABC$, necesitamos dos vectores que compartan un origen común, por ejemplo, $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$. Calculamos sus componentes: $$\overrightarrow{AB} = B - A = (0, 0, 2) - (0, 2, 0) = (0, -2, 2)$$ $$\overrightarrow{AC} = C - A = (c, 0, 0) - (0, 2, 0) = (c, -2, 0)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A, B, C$ viene dada por la fórmula: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$$

Realizamos el producto vectorial $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ mediante el determinante de las componentes: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2 & 2 \\ c & -2 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante (aplicando la regla de Sarrus o desarrollo por la primera fila): - Componente $\mathbf{i}: (-2) \cdot 0 - 2 \cdot (-2) = 4$ - Componente $\mathbf{j}: -(0 \cdot 0 - 2 \cdot c) = 2c$ - Componente $\mathbf{k}: 0 \cdot (-2) - (-2) \cdot c = 2c$ Entonces: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (4, 2c, 2c)$$

El módulo del vector resultante es: $$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{4^2 + (2c)^2 + (2c)^2} = \sqrt{16 + 4c^2 + 4c^2} = \sqrt{16 + 8c^2}$$ Igualamos el área a 6: $$\frac{1}{2} \sqrt{16 + 8c^2} = 6$$ $$\sqrt{16 + 8c^2} = 12$$ Elevamos al cuadrado ambos miembros: $$16 + 8c^2 = 144$$ $$8c^2 = 128$$ $$c^2 = 16 \implies c = \pm 4$$ Obtenemos dos posibles puntos para $C$: $$\boxed{C_1(4, 0, 0) \quad \text{y} \quad C_2(-4, 0, 0)}$$

Para el punto $C_1(4, 0, 0)$, el plano contiene a $A, B$ y $C_1$. El vector normal del plano $\vec{n_1}$ es el producto vectorial calculado anteriormente con $c=4$: $$\vec{n_1} = (4, 2(4), 2(4)) = (4, 8, 8)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por 4: $\vec{n'_1} = (1, 2, 2)$. La ecuación del plano es $1x + 2y + 2z + D = 0$. Imponemos que pase por $A(0, 2, 0)$: $$0 + 2(2) + 0 + D = 0 \implies 4 + D = 0 \implies D = -4$$ ✅ **Resultado (Plano 1):** $$\boxed{\pi_1: x + 2y + 2z - 4 = 0}$$

Para el punto $C_2(-4, 0, 0)$, el vector normal $\vec{n_2}$ con $c=-4$ es: $$\vec{n_2} = (4, 2(-4), 2(-4)) = (4, -8, -8)$$ Simplificamos dividiendo por 4: $\vec{n'_2} = (1, -2, -2)$. La ecuación del plano es $1x - 2y - 2z + D = 0$. Imponemos que pase por $A(0, 2, 0)$: $$0 - 2(2) - 0 + D = 0 \implies -4 + D = 0 \implies D = 4$$ ✅ **Resultado (Plano 2):** $$\boxed{\pi_2: x - 2y - 2z + 4 = 0}$$