Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real $a$. (1,5 puntos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} a & 2 & 2 \\ 2 & a & 2 \\ 2 & 2 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} a & 2 & 2 & a \\ 2 & a & 2 & -a \\ 2 & 2 & a & 0 \end{pmatrix}$$ Para estudiar el rango de $A$ en función del parámetro $a$, calculamos su determinante $|A|$. 💡 **Tip:** Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única (SCD) si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 & 2 \\ 2 & a & 2 \\ 2 & 2 & a \end{vmatrix} = a^3 + 8 + 8 - (4a + 4a + 4a)$$ $$|A| = a^3 + 16 - 12a$$ Para encontrar los valores críticos de $a$, igualamos el determinante a cero: $$a^3 - 12a + 16 = 0$$ Probamos raíces enteras usando la regla de Ruffini (divisores de 16: $\pm 1, \pm 2, \pm 4...$). Para $a = 2$: $$2^3 - 12(2) + 16 = 8 - 24 + 16 = 0$$ Dividiendo el polinomio por $(a-2)$ obtenemos: $$(a-2)(a^2 + 2a - 8) = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado $a^2 + 2a - 8 = 0$: $$a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$$ Las raíces son $a = 2$ y $a = -4$. Por lo tanto: $$|A| = (a-2)^2(a+4)$$ Los valores que anulan el determinante son **$a = 2$** y **$a = -4$**.

Analizamos los diferentes casos según el valor de $a$: **Caso 1: $a \neq 2$ y $a \neq -4$** Como $|A| \neq 0$, entonces $\text{rango}(A) = 3$. Como el número de incógnitas también es 3, por el Teorema de Rouché-Frobenius: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = n^o \text{ incógnitas} \implies \text{SCD (Sistema Compatible Determinado)}$$ **Caso 2: $a = 2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Aquí $\text{rango}(A) = 1$ ya que todas las filas son iguales. Sin embargo, en $A^*$ el menor $\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -4-4 = -8 \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A^*) = 2$. $$\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*) \implies \text{SI (Sistema Incompatible)}$$ **Caso 3: $a = -4$** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 2 & -4 \\ 2 & -4 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & -4 & 0 \end{pmatrix}$$ El menor $\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = 16 - 4 = 12 \neq 0$, luego $\text{rango}(A) = 2$. Calculamos el determinante de una submatriz $3 \times 3$ de $A^*$ que contenga la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -4 & 2 & -4 \\ 2 & -4 & 4 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 + 16 - 16 - (32 - 32 + 0) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 en $A^*$ son cero: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3 \implies \text{SCI (Sistema Compatible Indeterminado)}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 2, -4: \text{SCD} \\ a = 2: \text{SI} \\ a = -4: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) Resuelva el sistema, si es posible, cuando $a = -4$. (1 punto)** Como hemos visto, para $a = -4$ el sistema es Compatible Indeterminado con $\text{rango} = 2$. Podemos descartar una ecuación (la tercera, pues es combinación lineal de las otras: $R_1 + R_2 + R_3 = 0$) y tratar una incógnita como parámetro. El sistema reducido es: $$\begin{cases} -4x + 2y + 2z = -4 \\ 2x - 4y + 2z = 4 \end{cases}$$ Dividimos por 2 para simplificar: $$\begin{cases} -2x + y + z = -2 \\ x - 2y + z = 2 \end{cases}$$ Hacemos $z = \lambda$ y pasamos al otro miembro: $$\begin{cases} -2x + y = -2 - \lambda \\ x - 2y = 2 - \lambda \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda por 2 y sumamos: $$(-2x + y) + (2x - 4y) = (-2 - \lambda) + (4 - 2\lambda)$$ $$-3y = 2 - 3\lambda \implies y = -\frac{2}{3} + \lambda$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación: $$x = 2 - \lambda + 2y = 2 - \lambda + 2(-\frac{2}{3} + \lambda) = 2 - \lambda - \frac{4}{3} + 2\lambda$$ $$x = \frac{2}{3} + \lambda$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = \frac{2}{3} + \lambda, \quad y = -\frac{2}{3} + \lambda, \quad z = \lambda \quad (\lambda \in \mathbb{R})}$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba que la solución dependa de $n - \text{rango}$ parámetros. Aquí $3 - 2 = 1$ parámetro.