Límite de una función. Indeterminación 1 elevado a infinito

Para calcular el límite, primero evaluamos la función en el punto $x = 1$: $$\lim_{x \to 1} (2 - x)^{\frac{1}{1-x}} = (2 - 1)^{\frac{1}{1-1}} = 1^{\frac{1}{0}} = 1^{\infty}$$ Obtenemos una **indeterminación del tipo $1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Las potencias de la forma $1^{\infty}$ son indeterminadas porque el 1 de la base no es un 1 exacto, sino un valor que tiende a 1, y el exponente crece sin medida.

Para resolver este tipo de límites, llamamos $L$ al valor del límite y aplicamos logaritmos naturales (neperianos) para bajar el exponente: Sea $L = \lim_{x \to 1} (2 - x)^{\frac{1}{1-x}}$. Entonces: $$\ln(L) = \ln \left[ \lim_{x \to 1} (2 - x)^{\frac{1}{1-x}} \right]$$ Por la continuidad de la función logaritmo, podemos introducir el logaritmo dentro del límite y aplicar la propiedad $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$: $$\ln(L) = \lim_{x \to 1} \ln \left( (2 - x)^{\frac{1}{1-x}} \right) = \lim_{x \to 1} \frac{1}{1-x} \cdot \ln(2 - x)$$ Reescribimos la expresión como un cociente: $$\ln(L) = \lim_{x \to 1} \frac{\ln(2 - x)}{1 - x}$$ 💡 **Tip:** Al aplicar logaritmos transformamos una indeterminación de tipo potencia ($1^{\infty}$) en una de tipo producto ($0 \cdot \infty$) y, finalmente, en un cociente ($0/0$ o $\infty/\infty$).

Evaluamos el nuevo límite obtenido: $$\lim_{x \to 1} \frac{\ln(2 - 1)}{1 - 1} = \frac{\ln(1)}{0} = \frac{0}{0}$$ Como tenemos una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$, aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador por separado: - Derivada del numerador: $(\ln(2-x))' = \frac{1}{2-x} \cdot (2-x)' = \frac{-1}{2-x}$ - Derivada del denominador: $(1-x)' = -1$ Sustituimos en el límite: $$\ln(L) = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{-1}{2-x}}{-1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{2-x}$$ Ahora evaluamos en $x = 1$: $$\ln(L) = \frac{1}{2-1} = \frac{1}{1} = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de L'Hôpital dice que si $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$, entonces el límite es igual a $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ siempre que este último exista.

Hemos obtenido que el logaritmo del límite es $1$: $$\ln(L) = 1$$ Para hallar el valor de $L$, despejamos aplicando la función exponencial (la inversa del logaritmo neperiano): $$L = e^1 = e$$ Por tanto, el valor del límite es: $$\boxed{\lim_{x \to 1} (2 - x)^{\frac{1}{1-x}} = e}$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca este último paso. El resultado de L'Hôpital suele ser el logaritmo del límite buscado, no el límite final.