Recta tangente y área entre parábola y recta

**a) Halle la ecuación de la tangente a la gráfica de esa curva en el punto de abscisa $x = 3$. (0,5 puntos)** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = a$, utilizamos la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ 1. Calculamos la ordenada del punto de tangencia evaluando $x=3$ en la función $f(x) = x^2 - 3x + 6$: $$f(3) = 3^2 - 3(3) + 6 = 9 - 9 + 6 = 6$$ El punto de tangencia es **$P(3, 6)$**. 2. Calculamos la pendiente de la tangente obteniendo la derivada $f'(x)$ y evaluándola en $x=3$: $$f'(x) = 2x - 3$$ $$m = f'(3) = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3$$ 3. Sustituimos en la ecuación de la recta: $$y - 6 = 3(x - 3)$$ $$y = 3x - 9 + 6$$ $$y = 3x - 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 3x - 3}$$

**b) Haga un dibujo aproximado del recinto limitado por la gráfica de la parábola, el eje OY y la recta tangente hallada anteriormente. (0,5 puntos)** Para dibujar el recinto, debemos identificar sus fronteras: - La parábola $f(x) = x^2 - 3x + 6$. Es una parábola convexa (forma de U) con vértice en $x = -b/2a = 1,5$. - El eje $OY$, que corresponde a la recta vertical **$x = 0$**. - La recta tangente **$y = 3x - 3$**. El recinto está comprendido entre el eje de ordenadas ($x=0$) y el punto donde la recta toca a la parábola ($x=3$). 💡 **Tip:** Al dibujar, es útil marcar puntos clave como el corte con el eje $OY$ de la parábola $(0, 6)$ y de la recta $(0, -3)$. **Interactivo de la región:**

**c) Calcule el área del recinto anterior. (1,5 puntos)** El área $A$ viene dada por la integral definida de la diferencia entre la función superior (la parábola) y la función inferior (la recta) en el intervalo limitado por el eje $OY$ ($x=0$) y el punto de tangencia ($x=3$). 1. Definimos la integral: $$A = \int_{0}^{3} [ (x^2 - 3x + 6) - (3x - 3) ] \, dx$$ 2. Simplificamos el integrando: $$A = \int_{0}^{3} (x^2 - 6x + 9) \, dx$$ 💡 **Tip:** Observa que $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$. Esto ocurre porque la recta es tangente en $x=3$, lo que implica una raíz doble en ese punto al restar ambas funciones. 3. Aplicamos la Regla de Barrow: Calculamos la primitiva: $$F(x) = \int (x^2 - 6x + 9) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{6x^2}{2} + 9x = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x$$ Evaluamos en los límites: $$A = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right]_{0}^{3}$$ $$A = \left( \frac{3^3}{3} - 3(3^2) + 9(3) \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 3(0^2) + 9(0) \right)$$ $$A = (9 - 27 + 27) - 0 = 9$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 9 \text{ unidades}^2}$$