Punto medio y plano de simetría entre dos puntos

**a) Halle el punto medio de $A$ y $B$. (0,5 puntos)** El punto medio $M$ de un segmento definido por dos puntos $A(x_1, y_1, z_1)$ y $B(x_2, y_2, z_2)$ se calcula promediando sus coordenadas: $$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$$ Sustituimos las coordenadas de $A(1, -1, 1)$ y $B(2, 2, 2)$: $$M = \left( \frac{1 + 2}{2}, \frac{-1 + 2}{2}, \frac{1 + 2}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)$$ 💡 **Tip:** El punto medio es aquel que equidista de ambos extremos y pertenece al segmento que los une. ✅ **Resultado:** $$\boxed{M\left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)}$$

**b) Dé la ecuación del plano respecto al cual $A$ y $B$ son puntos simétricos. (2 puntos)** Para que dos puntos $A$ y $B$ sean simétricos respecto a un plano $\pi$, se deben cumplir dos condiciones geométricas: 1. El plano debe ser perpendicular al segmento $AB$. Por tanto, el vector $\vec{AB}$ será el **vector normal** del plano ($\vec{n}_{\pi}$). 2. El plano debe pasar por el **punto medio** del segmento $AB$, que hemos calculado en el apartado anterior. Este plano se conoce técnicamente como el **plano mediador** del segmento $AB$. Visualmente, la situación es la siguiente:

Calculamos el vector $\vec{AB}$, que servirá como vector normal del plano: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{AB} = B - A = (2 - 1, 2 - (-1), 2 - 1) = (1, 3, 1)$$ La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es de la forma: $$Ax + By + Cz + D = 0$$ Sustituyendo las componentes del vector normal $(1, 3, 1)$: $$x + 3y + z + D = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las coordenadas del vector normal de un plano coinciden con los coeficientes de $x$, $y$ y $z$ en su ecuación general.

Para hallar el valor de $D$, obligamos a que el plano pase por el punto medio $M\left( \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right)$: $$1 \cdot \left( \frac{3}{2} \right) + 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) + 1 \cdot \left( \frac{3}{2} \right) + D = 0$$ Operamos con las fracciones: $$\frac{3}{2} + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + D = 0 \implies \frac{9}{2} + D = 0 \implies D = -\frac{9}{2}$$ La ecuación del plano es: $$x + 3y + z - \frac{9}{2} = 0$$ Para expresarla de forma más habitual sin denominadores, multiplicamos toda la ecuación por $2$: $$2x + 6y + 2z - 9 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2x + 6y + 2z - 9 = 0}$$