Estudio del rango de una matriz con parámetros

Para hallar el rango de la matriz $M = A^2 - A^t$, primero debemos calcular la matriz $A^2$ realizando el producto de $A$ por sí misma. $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento fila por columna: - Fila 1: $(1\cdot 1 + a\cdot 1 + 1\cdot 1, \, 1\cdot a + a\cdot 1 + 1\cdot 0, \, 1\cdot 1 + a\cdot 0 + 1\cdot 0) = (a+2, \, 2a, \, 1)$ - Fila 2: $(1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 0\cdot 1, \, 1\cdot a + 1\cdot 1 + 0\cdot 0, \, 1\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 0) = (2, \, a+1, \, 1)$ - Fila 3: $(1\cdot 1 + 0\cdot 1 + 0\cdot 1, \, 1\cdot a + 0\cdot 1 + 0\cdot 0, \, 1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 0\cdot 0) = (1, \, a, \, 1)$ $$A^2 = \begin{pmatrix} a+2 & 2a & 1 \\ 2 & a+1 & 1 \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo y se realiza multiplicando los elementos de la fila de la primera por los de la columna de la segunda.

La matriz traspuesta $A^t$ se obtiene cambiando las filas por columnas de la matriz original $A$: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la matriz $M = A^2 - A^t$ restando elemento a elemento: $$M = \begin{pmatrix} a+2 & 2a & 1 \\ 2 & a+1 & 1 \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$M = \begin{pmatrix} a+2-1 & 2a-1 & 1-1 \\ 2-a & a+1-1 & 1-0 \\ 1-1 & a-0 & 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+1 & 2a-1 & 0 \\ 2-a & a & 1 \\ 0 & a & 1 \end{pmatrix}$$

Para estudiar el rango de la matriz $M$, calculamos su determinante $|M|$ en función del parámetro $a$. Utilizaremos el desarrollo por la primera fila o la regla de Sarrus. $$|M| = \begin{vmatrix} a+1 & 2a-1 & 0 \\ 2-a & a & 1 \\ 0 & a & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|M| = [(a+1) \cdot a \cdot 1 + (2a-1) \cdot 1 \cdot 0 + 0 \cdot (2-a) \cdot a] - [0 \cdot a \cdot 0 + a \cdot 1 \cdot (a+1) + 1 \cdot (2-a) \cdot (2a-1)]$$ $$|M| = [a(a+1) + 0 + 0] - [0 + a(a+1) + (2-a)(2a-1)]$$ Simplificamos los términos: $$|M| = a^2+a - [a^2+a + (4a-2-2a^2+a)]$$ $$|M| = a^2+a - [a^2+a -2a^2+5a-2]$$ $$|M| = a^2+a - (-a^2+6a-2) = a^2+a+a^2-6a+2$$ $$|M| = 2a^2 - 5a + 2$$ 💡 **Tip:** Para agilizar el cálculo, también se puede desarrollar por la primera fila ya que tiene un cero, o restar la fila 3 a la fila 2 para obtener otro cero.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que reducen el rango de la matriz: $$2a^2 - 5a + 2 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$a = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$$ Obtenemos dos soluciones: - $a_1 = \frac{5+3}{4} = 2$ - $a_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ Estos son los valores de $a$ para los cuales el determinante es cero y, por tanto, $\text{rango}(M) \lt 3$.

Analizamos los distintos casos posibles: **Caso 1: Si $a \neq 2$ y $a \neq \frac{1}{2}$** En este caso, $|M| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz es máximo. **$$\text{rango}(M) = 3$$ **Caso 2: Si $a = 2$** Sustituimos $a=2$ en la matriz $M$: $$M = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $|M|=0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 6 \neq 0$$ Por tanto, **$\text{rango}(M) = 2$**. **Caso 3: Si $a = \frac{1}{2}$** Sustituimos $a=\frac{1}{2}$ en la matriz $M$: $$M = \begin{pmatrix} 3/2 & 0 & 0 \\ 3/2 & 1/2 & 1 \\ 0 & 1/2 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $|M|=0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 3/2 & 1/2 \\ 0 & 1/2 \end{vmatrix} = \frac{3}{4} \neq 0$$ Por tanto, **$\text{rango}(M) = 2$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{1/2, 2\}, & \text{rango}(A^2 - A^t) = 3 \\ \text{Si } a = 2 \text{ o } a = 1/2, & \text{rango}(A^2 - A^t) = 2 \end{cases}}$$