Función a trozos: Gráfica e integrales

**a) Haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función $f$. (0,75 puntos)** Analizamos la primera rama de la función, definida para $x \leq -1$: $$f(x) = 4x + 12$$ Se trata de una **recta con pendiente positiva** ($m=4$). Para representarla, calculamos un par de puntos significativos: - En el extremo del intervalo: si $x = -1 \implies f(-1) = 4(-1) + 12 = 8$. El punto es $(-1, 8)$. - Punto de corte con el eje $X$: $4x + 12 = 0 \implies x = -3$. El punto es $(-3, 0)$. 💡 **Tip:** Para dibujar una recta basta con dos puntos, pero siempre es útil incluir el punto donde cambia la definición de la función.

Analizamos ahora la segunda rama, definida para $x > -1$: $$f(x) = x^2 - 4x + 3$$ Es una **parábola convexa** (forma de $U$ ya que $a=1 > 0$). Hallamos sus elementos clave: - **Vértice:** La abscisa es $x_v = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-(-4)}{2(1)} = 2$. La ordenada es $f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$. El vértice está en $(2, -1)$. - **Cortes con el eje $X$ ($y=0$):** $x^2 - 4x + 3 = 0$. Usando la fórmula general: $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \implies x_1 = 3, \, x_2 = 1.$$ - **Punto de inicio:** Si $x o -1^+$, $f(x) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 8$. Observamos que en $x = -1$, ambas ramas valen $8$, por lo que **la función es continua** en el punto de cambio de rama. $$\boxed{\text{Vértice: } (2, -1). \text{ Cortes } X: (1, 0), (3, 0). \text{ Punto de unión: } (-1, 8)}$$

Unimos la recta y la parábola en una única gráfica. La recta llega hasta el punto $(-1, 8)$ y desde ahí parte la parábola que baja hasta su vértice en $(2, -1)$ y vuelve a subir. En el siguiente interactivo se puede observar la forma de la función y las regiones que compondrán el área del apartado b).

**b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f$, el eje de abscisas y la recta $x = 2$. (1,75 puntos)** El recinto está limitado por la función, el eje $X$ y la recta vertical $x=2$. Para determinar los intervalos de integración, identificamos dónde la función corta al eje $X$ ($f(x)=0$): - En la primera rama: $4x + 12 = 0 \implies x = -3$. - En la segunda rama: $x^2 - 4x + 3 = 0 \implies x = 1$ (el corte $x=3$ queda fuera del límite $x=2$). El área total se divide en tres regiones según los cortes y el cambio de rama: 1. De $x = -3$ a $x = -1$ (Rama 1, por encima del eje). 2. De $x = -1$ a $x = 1$ (Rama 2, por encima del eje). 3. De $x = 1$ a $x = 2$ (Rama 2, por debajo del eje). $$A = \int_{-3}^{-1} (4x+12) dx + \int_{-1}^{1} (x^2-4x+3) dx + \left| \int_{1}^{2} (x^2-4x+3) dx \right|$$ 💡 **Tip:** El área siempre es positiva. Si una región está bajo el eje $X$, la integral saldrá negativa y debemos tomar su valor absoluto.

Calculamos la integral de la primera región (recta) aplicando la Regla de Barrow: $$I_1 = \int_{-3}^{-1} (4x+12) dx = \left[ \frac{4x^2}{2} + 12x \right]_{-3}^{-1} = [2x^2 + 12x]_{-3}^{-1}$$ Evaluamos en los límites: - Superior: $2(-1)^2 + 12(-1) = 2 - 12 = -10$ - Inferior: $2(-3)^2 + 12(-3) = 18 - 36 = -18$ $$I_1 = (-10) - (-18) = 8 \text{ u}^2$$

Calculamos la integral de la segunda región (parábola sobre el eje): $$I_2 = \int_{-1}^{1} (x^2-4x+3) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_{-1}^{1}$$ Evaluamos: - Superior ($x=1$): $\frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$ - Inferior ($x=-1$): $\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 + 3(-1) = -\frac{1}{3} - 2 - 3 = -\frac{1}{3} - 5 = -\frac{16}{3}$ $$I_2 = \frac{4}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{20}{3} \text{ u}^2$$

Calculamos la última región (parábola bajo el eje entre $x=1$ y $x=2$): $$I_3 = \int_{1}^{2} (x^2-4x+3) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos: - Superior ($x=2$): $\frac{8}{3} - 2(4) + 3(2) = \frac{8}{3} - 8 + 6 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$ - Inferior ($x=1$): Ya calculado en el paso anterior como $\frac{4}{3}$. $$I_3 = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}$$ Tomamos el valor absoluto para el área: $|I_3| = \frac{2}{3} \text{ u}^2$. **Suma final:** $$A_{total} = I_1 + I_2 + |I_3| = 8 + \frac{20}{3} + \frac{2}{3} = 8 + \frac{22}{3} = \frac{24 + 22}{3} = \frac{46}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área } = \frac{46}{3} \approx 15,33 \text{ unidades}^2}$$