Estudio y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real $a$. (1,5 puntos)** Para estudiar la compatibilidad del sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a & 1 \end{array}\right)$$ El estudio del rango de $A$ comienza calculando su determinante. 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema es compatible si y solo si $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*)$. Si este rango es igual al número de incógnitas, el sistema es Determinado; si es menor, es Indeterminado.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (a \cdot a \cdot a) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - [(1 \cdot a \cdot 1) + (a \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot a)]$$ $$|A| = a^3 + 1 + 1 - (a + a + a) = a^3 - 3a + 2$$ Para hallar los valores críticos, igualamos el determinante a cero: $$a^3 - 3a + 2 = 0$$ Probamos con divisores del término independiente ($2$): para $a=1$, tenemos $1^3 - 3(1) + 2 = 0$. Por tanto, $a=1$ es una raíz. Dividiendo por $(a-1)$ mediante Ruffini: $$\begin{array}{r|rrrr} & 1 & 0 & -3 & 2 \\ 1 & & 1 & 1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & -2 & 0 \end{array}$$ Resolvemos $a^2 + a - 2 = 0$ para encontrar las raíces restantes: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies a=1, \, a=-2$$ Las raíces son **$a = 1$ (doble)** y **$a = -2$**.

Si $a \neq 1$ y $a \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es máximo: $$\text{rango}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensiones $3 \times 4$, su rango máximo también es $3$. Por lo tanto, $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$, que coincide con el número de incógnitas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1 \text{ y } a \neq -2, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $a = 1$, la matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que las dos primeras filas son idénticas, lo que daría la ecuación $x+y+z=0$. Sin embargo, la tercera fila plantea la ecuación $x+y+z=1$. Es imposible que la suma de las mismas variables sea $0$ y $1$ simultáneamente. Analizando rangos: - $\text{rango}(A) = 1$ (todas las filas son proporcionales). - $\text{rango}(A^*) = 2$ (el determinante de $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ usando columnas 3 y 4). Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

Si $a = -2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos un menor de orden 3 en $A^*$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 3 \neq 0 \implies \text{rango}(A^*) = 3$$ Como $\text{rango}(A) = 2$ y $\text{rango}(A^*) = 3$, los rangos son distintos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -2, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

**b) Resuélvalo cuando $a$ sea nulo si es posible. (1 punto)** Como $a = 0$ no es uno de los valores críticos ($1$ o $-2$), el sistema es **Compatible Determinado**. Sustituimos $a = 0$ en el sistema: $$ \begin{cases} 0x + y + z = 0 \implies y + z = 0 \\ x + 0y + z = 0 \implies x + z = 0 \\ x + y + 0z = 1 \implies x + y = 1 \end{cases} $$ De la primera ecuación despejamos $y$: $y = -z$. De la segunda ecuación despejamos $x$: $x = -z$. Sustituimos ambos valores en la tercera ecuación: $$(-z) + (-z) = 1 \implies -2z = 1 \implies z = -\frac{1}{2}$$ Calculamos ahora $x$ e $y$: $$x = -z = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$$ $$y = -z = -\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \frac{1}{2}, \quad y = \frac{1}{2}, \quad z = -\frac{1}{2}}$$