Área entre una función trigonométrica y una parábola

**a) Dibuje un esquema del recinto. (1 punto)** Para dibujar el recinto, primero buscamos los puntos de corte entre las funciones $f(x) = \text{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)$ y $g(x) = x^2$. Igualamos ambas expresiones: $$\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) = x^2$$ Observamos los valores por inspección dentro del primer cuadrante, que es donde las funciones suelen cruzarse para este tipo de ejercicios de Bachillerato: - Si $x = 0$: $f(0) = \text{sen}(0) = 0$ y $g(0) = 0^2 = 0$. El punto **$(0, 0)$** es una intersección. - Si $x = 1$: $f(1) = \text{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$ y $g(1) = 1^2 = 1$. El punto **$(1, 1)$** es otra intersección. Para valores de $x > 1$, $x^2$ crece indefinidamente mientras que el seno está acotado por $1$. Para valores $x < 0$, en el entorno de $0$, la función $g(x)$ es positiva y $f(x)$ es negativa, por lo que no hay más cortes que definan un recinto finito elemental en esta zona. 💡 **Tip:** En intersecciones con funciones trigonométricas y polinómicas, a menudo las soluciones son valores sencillos como $0, 1$ o múltiplos de $\pi$.

Para realizar el esquema, representamos: 1. $g(x) = x^2$: Una parábola convexa con vértice en $(0,0)$. 2. $f(x) = \text{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)$: El primer arco de la función seno, que va desde el origen hasta su máximo en $(1, 1)$. En el intervalo $(0, 1)$, la función seno está por encima de la parábola (por ejemplo, en $x=0.5$, $\text{sen}(\pi/4) \approx 0.707 > 0.5^2 = 0.25$). **Representación gráfica:**

**b) Calcule su área. (1,5 puntos)** El área del recinto encerrado entre dos funciones se calcula mediante la integral definida de la diferencia de las funciones (la superior menos la inferior) entre los puntos de corte hallados. Como en el intervalo $[0, 1]$ se cumple que $f(x) \ge g(x)$, el área $A$ es: $$A = \int_{0}^{1} \left[ \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}x\right) - x^2 \right] dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si al calcular la integral obtienes un valor negativo, es posible que hayas intercambiado el orden de las funciones (techo y suelo).

Calculamos la integral indefinida descomponiéndola en dos partes: 1. $\int \text{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) dx$: Usamos la fórmula $\int \text{sen}(ax) dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax)$. $$\int \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}x\right) dx = -\frac{1}{\pi/2} \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) = -\frac{2}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$$ 2. $\int x^2 dx = \dfrac{x^3}{3}$. Por tanto, la primitiva es: $$F(x) = -\frac{2}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) - \frac{x^3}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al integrar funciones compuestas del tipo $f(ax+b)$, debemos dividir por la derivada del argumento ($a$).

Aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[0, 1]$: $$A = \left[ -\frac{2}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) - \frac{x^3}{3} \right]_0^1$$ Evaluamos en el límite superior ($x=1$): $$F(1) = -\frac{2}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1^3}{3} = -\frac{2}{\pi}(0) - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=0$): $$F(0) = -\frac{2}{\pi} \cos(0) - \frac{0^3}{3} = -\frac{2}{\pi}(1) - 0 = -\frac{2}{\pi}$$ Restamos ambos valores: $$A = F(1) - F(0) = -\frac{1}{3} - \left( -\frac{2}{\pi} \right) = \frac{2}{\pi} - \frac{1}{3}$$ Calculamos el valor aproximado: $$A \approx 0.6366 - 0.3333 = 0.3033 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{2}{\pi} - \frac{1}{3} \approx 0.3033 \text{ u}^2}$$