Optimización de costes de producción

**a) Obtenga la producción diaria óptima para minimizar los costes. (1,75 puntos)** Tenemos la función de coste $f(x) = x^3 + 2x^2 - 15x + 93$. El objetivo es encontrar el valor de $x$ (toneladas) que minimiza esta función. En problemas de optimización, los candidatos a extremos relativos se encuentran donde la primera derivada es igual a cero. Calculamos la derivada de la función: $$f'(x) = 3x^2 + 4x - 15$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar una potencia $x^n$, el resultado es $n \cdot x^{n-1}$. La derivada de una constante es siempre $0$.

Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$3x^2 + 4x - 15 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado utilizando la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(-15)}}{2(3)}$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{6} = \frac{-4 \pm 14}{6}$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $x_1 = \dfrac{-4 + 14}{6} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3} \approx 1,67$ 2. $x_2 = \dfrac{-4 - 14}{6} = \dfrac{-18}{6} = -3$ Dado que $x$ representa toneladas de trigo, debe ser un valor no negativo ($x \ge 0$). Por lo tanto, descartamos $x = -3$ y nos quedamos con **$x = \dfrac{5}{3}$**.

Para confirmar que en $x = \frac{5}{3}$ hay un mínimo, estudiamos el signo de la derivada segunda $f''(x)$ o el cambio de signo de $f'(x)$. Calculamos la derivada segunda: $$f''(x) = 6x + 4$$ Evaluamos en nuestro punto crítico: $$f''\left(\frac{5}{3}\right) = 6\left(\frac{5}{3}\right) + 4 = 10 + 4 = 14$$ Como $f''\left(\frac{5}{3}\right) \gt 0$, el criterio de la segunda derivada confirma que existe un **mínimo relativo** en ese punto. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 5/3) & 5/3 & (5/3, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & +\\ \hline \text{Comportamiento} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado (producción óptima):** $$\boxed{x = \frac{5}{3} \approx 1,67 \text{ toneladas}}$$

**b) ¿Cuál es el coste mínimo diario? (0,75 puntos)** Para hallar el coste mínimo, sustituimos el valor de la producción óptima $x = \frac{5}{3}$ en la función de coste original $f(x)$: $$f\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}\right)^3 + 2\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 15\left(\frac{5}{3}\right) + 93$$ $$f\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{125}{27} + 2\left(\frac{25}{9}\right) - 25 + 93$$ $$f\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{125}{27} + \frac{50}{9} + 68$$ Ponemos común denominador ($27$): $$f\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{125}{27} + \frac{150}{27} + \frac{1836}{27} = \frac{2111}{27}$$ Calculando el valor decimal: $$f\left(\frac{5}{3}\right) \approx 78,185$$ ✅ **Resultado (coste mínimo):** $$\boxed{\text{Coste} = \frac{2111}{27} \approx 78,19 \text{ unidades de coste}}$$